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高考理科数学全国卷1试卷以及答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（5分）
=（）
A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i
3．（5分）已知向量
=（λ+1，1），
=（λ+2，2），若（
+
）⊥（
﹣
），则λ=（）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）
A．（﹣1，1） B．
C．（﹣1，0） D．
5．（5分）函数f（x）=log2（1+
）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）
A．
B．
C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0）
6．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣
，则{an}的前10项和等于（）
A．﹣6（1﹣3﹣10） B．
C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）
A．5 B．8 C．12 D．18
8．（5分）椭圆C：
的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+
是增函数，则a的取值范围是（）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞）
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）
A．
B．
C．
D．
11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若
，则k=（）
A．
B．
C．
D．2
12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣
，则cotα= ．
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作答）
15．（5分）记不等式组
所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是 ．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，
，则球O的表面积等于 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=
，求C．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为
，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
21．（12分）已知双曲线C：
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为
．
（I）求a，b；
（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
22．（12分）已知函数
．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{an}的通项an=1+
．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值
【专题】11：计算题．
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．
【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，
所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．
故选：B．
【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．
2．（5分）
=（）
A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i
【考点】A5：复数的运算
【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（
），化简即可．
【解答】解：
故选：A．
【点评】复数代数形式的运算，是基础题．
3．（5分）已知向量
=（λ+1，1），
=（λ+2，2），若（
+
）⊥（
﹣
），则λ=（）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵
，
．
∴
=（2λ+3，3），
．
∵
，
∴
=0，
∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．
故选：B．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）
A．（﹣1，1） B．
C．（﹣1，0） D．
【考点】33：函数的定义域及其求法
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．
【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣
．
∴则函数f（2x+1）的定义域为
．
故选：B．
【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．
5．（5分）函数f（x）=log2（1+
）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）
A．
B．
C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0）
【考点】4R：反函数
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】把y看作常数，求出x：x=
，x，y互换，得到y=log2（1+
）的反函数．注意反函数的定义域．
【解答】解：设y=log2（1+
），
把y看作常数，求出x：
1+
=2y，x=
，其中y＞0，
x，y互换，得到y=log2（1+
）的反函数：y=
，
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．
6．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣
，则{an}的前10项和等于（）
A．﹣6（1﹣3﹣10） B．
C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
【考点】89：等比数列的前n项和
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣
为公比的等比数列，结合已知
可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求
【解答】解：∵3an+1+an=0
∴
∴数列{an}是以﹣
为公比的等比数列
∵
∴a1=4
由等比数列的求和公式可得，S10=
=3（1﹣3﹣10）
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）
A．5 B．8 C．12 D．18
【考点】DA：二项式定理
【专题】11：计算题．
【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．
【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为Tr+1=C3rxr
令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3，
（1+y）4的展开式的通项为Tr+1=C4ryr
令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6，
（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，
故选：D．
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．
8．（5分）椭圆C：
的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由椭圆C：
可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得
．利用斜率计算公式可得
，再利用已知给出的
的范围即可解出．
【解答】解：由椭圆C：
可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．
设P（x0，y0）（x0≠±2），则
，得
．
∵
=
，
=
，
∴
=
=
，
∵
，
∴
，解得
．
故选：B．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．
9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+
是增函数，则a的取值范围是（）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】由函数
在（
，+∞）上是增函数，可得
≥0在（
，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥
﹣2x在（
，+∞）上恒成立，构造函数求出
﹣2x在（
，+∞）上的最值，可得a的取值范围．
【解答】解：∵
在（
，+∞）上是增函数，
故
≥0在（
，+∞）上恒成立，
即a≥
﹣2x在（
，+∞）上恒成立，
令h（x）=
﹣2x，
则h′（x）=﹣
﹣2，
当x∈（
，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．
∴h（x）＜h（
）=3
∴a≥3．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）
A．
B．
C．
D．
【考点】MI：直线与平面所成的角
【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．
【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设
=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，
则sinθ=|
|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．
【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），
=（1，1，0），
=（1，0，﹣2），
=（1，0，0），
设
=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则
，即
，取
=（2，﹣2，1），
设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=|
|=
，
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．
11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若
，则k=（）
A．
B．
C．
D．2
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用
=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．
【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2=4+
，x1x2=4．
∴y1+y2=
，y1y2=﹣16，
又
=0，
∴
=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=
=0
∴k=2．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值
【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1﹣sin2x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为
，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案．
【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x，
f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0，
可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；
以下文本是小编为大家带来的高考理科数学全国卷1试卷以及答案内容，欢迎大家进行阅读参考，希望能帮助到大家。
高考理科数学全国卷1试卷以及答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（5分）=（）
A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i
3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）
A． B． C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0）
6．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（）
A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）
A．5 B．8 C．12 D．18
8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）
A． B． C． D．
9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞）
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）
A． B． C． D．
11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）
A． B． C． D．2
12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα= ．
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作答）
15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是 ．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
