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全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设复数z满足
=i，则|z|=（）
A．1 B．
C．
D．2
2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）
A．
B．
C．
D．
3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n
4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：
=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若
＜0，则y0的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，
，则（）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）
A．（kπ﹣
，kπ+
），k∈z B．（2kπ﹣
，2kπ+
），k∈z
C．（k﹣
，k+
），k∈z D．（
，2k+
），k∈z
9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）
A．10 B．20 C．30 D．60
11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．（5分）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）
A．[
） B．[
） C．[
） D．[
）
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）
13．（5分）若函数f（x）=xln（x+
）为偶函数，则a= ．
14．（5分）一个圆经过椭圆
=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为 ．
15．（5分）若x，y满足约束条件
．则
的最大值为 ．
16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是 ．
三、解答题：
17．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式：
（Ⅱ）设bn=
，求数列{bn}的前n项和．
18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．
（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（xi﹣
）2
（wi﹣
）2
（xi﹣
）（yi﹣
）
（wi﹣
）（yi﹣
）
46.65636.8289.81.61469108.8
表中wi=
i，
=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
=
，
=
﹣
．
20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=
与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．
（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+
，g（x）=﹣lnx
（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．
选修4一1:几何证明选讲
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA=
CE，求∠ACB的大小．
选修4一4：坐标系与参数方程
23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=
（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
选修4一5：不等式选讲
24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设复数z满足
=i，则|z|=（）
A．1 B．
C．
D．2
【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．
【分析】先化简复数，再求模即可．
【解答】解：∵复数z满足
=i，
∴1+z=i﹣zi，
∴z（1+i）=i﹣1，
∴z=
=i，
∴|z|=1，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．
2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）
A．
B．
C．
D．
【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．
【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°
=sin20°cos10°+cos20°sin10°
=sin30°
=
．
故选：D．
【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．
3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．
【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），
该同学通过测试的概率为
=0.648．
故选：A．
【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．
5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：
=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若
＜0，则y0的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．
【解答】解：由题意，
=（﹣
﹣x0，﹣y0）•（
﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，
所以﹣
＜y0＜
．
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．
6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则
r=8，
解得r=
，
故米堆的体积为
×
×π×（
）2×5≈
，
∵1斛米的体积约为1.62立方，
∴
÷1.62≈22，
故选：B．
【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．
7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，
，则（）
A．
B．
C．
D．
【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】将向量
利用向量的三角形法则首先表示为
，然后结合已知表示为
的形式．
【解答】解：由已知得到如图
由
=
=
=
；
故选：A．
【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量
表示为
．
8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（） 
A．（kπ﹣
，kπ+
），k∈z B．（2kπ﹣
，2kπ+
），k∈z
C．（k﹣
，k+
），k∈z D．（
，2k+
），k∈z
【考点】HA：余弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．
【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为
=2（
﹣
）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得
+ϕ=
，k∈z，即ϕ=
，f（x）=cos（πx+
）．
由2kπ≤πx+
≤2kπ+π，求得 2k﹣
≤x≤2k+
，故f（x）的单调递减区间为（
，2k+
），k∈z，
故选：D．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．
9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=
，m=
，n=1，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=2，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=3，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=4，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=5，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=6，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=7，满足退出循环的条件；
故输出的n值为7，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
10．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）
A．10 B．20 C．30 D．60
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5P：二项式定理．
【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．
【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为Tr+1=
，
令r=2，则（x2+x）3的通项为
=
，
令6﹣k=5，则k=1，
∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为
=30．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．
11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】5Q：立体几何．
【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．
【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
∴其表面积为：
×4πr2+
×πr2
2r×2πr+2r×2r+
×πr2=5πr2+4r2，
又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，
故选：B．
【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
12．（5分）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）
A．[
） B．[
） C．[
） D．[
）
【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．
【分析】设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．
【解答】解：设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，
由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，
∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），
∴当x＜﹣
时，g′（x）＜0，当x＞﹣
时，g′（x）＞0，
∴当x=﹣
时，g（x）取最小值﹣2
，
当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，
直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，
故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得
≤a＜1
故选：D．
【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）
13．（5分）若函数f（x）=xln（x+
）为偶函数，则a=1．
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．
【解答】解：∵f（x）=xln（x+
）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴（﹣x）ln（﹣x+
）=xln（x+
），
∴﹣ln（﹣x+
）=ln（x+
），
∴ln（﹣x+
）+ln（x+
）=0，
∴ln（
+x）（
﹣x）=0，
∴lna=0，
∴a=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．
14．（5分）一个圆经过椭圆
=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣
）2+y2=
．
【考点】K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．
大家好，今天小编为大家整理了一些有关于全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）的内容，希望可以对大家有帮助，欢迎各位阅读和下载。
全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）
A．1 B． C． D．2
2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）
A． B． C． D．
3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n
4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）
A． B．
C． D．
6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）
A． B．
C． D．
8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）
A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z
C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z
9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）
A．10 B．20 C．30 D．60
11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．（5分）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）
A．[） B．[） C．[） D．[）
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）
13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a= ．
14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为 ．
15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为 ．
16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是 ．
三、解答题：
