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全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
3．（5分）不等式组
的解集为（）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）
A．
B．
C．
D．
5．（5分）函数y=ln（
+1）（x＞﹣1）的反函数是（）
A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1）
C．y=（1﹣ex）3（x∈R） D．y=（ex﹣1）3（x∈R）
6．（5分）已知
，
为单位向量，其夹角为60°，则（2
﹣
）•
=（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
8．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（）
A．31 B．32 C．63 D．64
9．（5分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为
，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4
，则C的方程为（）
A．
+
=1 B．
+y2=1 C．
+
=1 D．
+
=1
10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）
A．
B．16π C．9π D．
11．（5分）双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为
，则C的焦距等于（）
A．2 B．2
C．4 D．4
12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是 ．（用数字作答）
14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是 ．
15．（5分）设x，y满足约束条件
，则z=x+4y的最大值为 ．
16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于 ．
三、解答题
17．（10分）数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．
（Ⅰ）设bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求{an}的通项公式．
18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=
，求B．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为
，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．
20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．
21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．
22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=
|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）
A．2 B．3 C．5 D．7
【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．
【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，
∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．
【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r=
=5．
∴cosα=
=
=﹣
，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
3．（5分）不等式组
的解集为（）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．
【解答】解：由不等式组
可得 
，解得0＜x＜1，
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．
4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】5G：空间角．
【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．
【解答】解：如图，
取AD中点F，连接EF，CF，
∵E为AB的中点，
∴EF∥DB，
则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，
∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，
∴CE=CF．
设正四面体的棱长为2a，
则EF=a，
CE=CF=
．
在△CEF中，由余弦定理得：
=
．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．
5．（5分）函数y=ln（
+1）（x＞﹣1）的反函数是（）
A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1）
C．y=（1﹣ex）3（x∈R） D．y=（ex﹣1）3（x∈R）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．
【解答】解：∵y=ln（
+1），
∴
+1=ey，即
=ey﹣1，
∴x=（ey﹣1）3，
∴所求反函数为y=（ex﹣1）3，
故选：D．
【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．
6．（5分）已知
，
为单位向量，其夹角为60°，则（2
﹣
）•
=（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得
、
的值，可得（2
﹣
）•
的值．
【解答】解：由题意可得，
=1×1×cos60°=
，
=1，
∴（2
﹣
）•
=2
﹣
=0，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．
7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】5O：排列组合．
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种；
故选：C．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
8．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（）
A．31 B．32 C．63 D．64
【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．
【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，
所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
即3，12，S6﹣15成等比数列，
可得122=3（S6﹣15），
解得S6=63
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．
9．（5分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为
，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4
，则C的方程为（）
A．
+
=1 B．
+y2=1 C．
+
=1 D．
+
=1
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用△AF1B的周长为4
，求出a=
，根据离心率为
，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．
【解答】解：∵△AF1B的周长为4
，
∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4
，
∴a=
，
∵离心率为
，
∴
，c=1，
∴b=
=
，
∴椭圆C的方程为
+
=1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）
A．
B．16π C．9π D．
【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2=（4﹣R）2+（
）2，
∴R=
，
∴球的表面积为4π•（
）2=
．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．
11．（5分）双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为
，则C的焦距等于（）
A．2 B．2
C．4 D．4
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．
【解答】解：∵：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
∴e=
，双曲线的渐近线方程为y=
，不妨取y=
，即bx﹣ay=0，
则c=2a，b=
，
∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为
，
∴d=
，
即
，
解得c=2，
则焦距为2c=4，
故选：C．
【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．
12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．
【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，
∴设g（x）=f（x+2），
则g（﹣x）=g（x），
即f（﹣x+2）=f（x+2），
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），
即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），
则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，
∴f（8）+f（9）=0+1=1，
大家好，今天小编为大家整理了一些有关于全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）的内容，希望可以对大家有帮助，欢迎各位阅读和下载。
全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）
A． B． C．﹣ D．﹣
3．（5分）不等式组的解集为（）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）
A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1）
C．y=（1﹣ex）3（x∈R） D．y=（ex﹣1）3（x∈R）
6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
8．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（）
A．31 B．32 C．63 D．64
9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）
A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1
10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）
A． B．16π C．9π D．
11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）
A．2 B．2 C．4 D．4
12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是 ．（用数字作答）
14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是 ．
15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为 ．
16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于 ．
三、解答题
17．（10分）数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．
（Ⅰ）设bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求{an}的通项公式．
18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．
