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理科高考数学试卷全国Ⅱ卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）
=（）
A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i
2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x|
＜0}，则A∩B=（）
A．φ B．（3，4） C．（﹣2，1） D．（4，+∞）
3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣
，则cosA=（）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）函数
在点（1，1）处的切线方程为（）
A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0
5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）已知向量
=（2，1），
=10，|
+
|=
，则|
|=（）
A．
B．
C．5 D．25
7．（5分）设a=log3π，b=log2
，c=log3
，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
8．（5分）若将函数y=tan（ωx+
）（ω＞0）的图象向右平移
个单位长度后，与函数y=tan（ωx+
）的图象重合，则ω的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）
A．
B．
C．
D．
10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
11．（5分）已知双曲线
的右焦点为F，过F且斜率为
的直线交C于A、B两点，若
=4
，则C的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）
A．南 B．北 C．西 D．下
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x
﹣y
）4的展开式中x3y3的系数为 ．
14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5a3，则
= ．
15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于
，则球O的表面积等于 ．
16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=
，b2=ac，求B．
18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．
（Ⅰ）证明：AB=AC；
（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．
19．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．
（1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．
21．（12分）已知椭圆
的离心率为
，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为
，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有
成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，
（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：f（x2）＞
．
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）
=（）
A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i
【考点】A5：复数的运算
【专题】11：计算题．
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．
【解答】解：原式=
，
故选：A．
【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．
2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x|
＜0}，则A∩B=（）
A．φ B．（3，4） C．（﹣2，1） D．（4，+∞）
【考点】1E：交集及其运算
【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．
【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x|
＜0}={x|1＜x＜4}，
∴A∩B=（3，4），
故选：B．
【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．
3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣
，则cosA=（）
A．
B．
C．
D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系
【专题】11：计算题．
【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．
【解答】解：∵cotA=
∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，
再由cotA=
=
，和sin2A+cos2A=1求得cosA=
，
故选：D．
【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．
4．（5分）函数
在点（1，1）处的切线方程为（）
A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】11：计算题．
【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：依题意得y′=
，
因此曲线
在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，
相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，
故选：B．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．
【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．
【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，
∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，
设AA1=2AB=2，
则A1E=1，BE=
=
，
A1B=
=
，
∴cos∠A1BE=
=
=
．
∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为
．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
6．（5分）已知向量
=（2，1），
=10，|
+
|=
，则|
|=（）
A．
B．
C．5 D．25
【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=
两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．
【解答】解：∵|
+
|=
，|
|=
∴（
+
）2=
2+
2+2
=50，
得|
|=5
故选：C．
【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．
7．（5分）设a=log3π，b=log2
，c=log3
，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【考点】4M：对数值大小的比较
【分析】利用对数函数y=logax的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，
如果底a不相同时可利用1做为中介值．
【解答】解：∵
∵
，故选A
【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．
8．（5分）若将函数y=tan（ωx+
）（ω＞0）的图象向右平移
个单位长度后，与函数y=tan（ωx+
）的图象重合，则ω的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【专题】11：计算题．
【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+
）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+
（k∈Z），然后求出ω的最小值．
【解答】解：y=tan（ωx+
），向右平移
个单位可得：y=tan[ω（x﹣
）+
]=tan（ωx+
）
∴
﹣
ω+kπ=
∴ω=k+
（k∈Z），
又∵ω＞0
∴ωmin=
．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．
9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）
A．
B．
C．
D．
【考点】K8：抛物线的性质
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知
，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．
【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2
直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则
，
∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，
故点B的坐标为
，
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．
10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
【考点】D5：组合及组合数公式
【专题】11：计算题．
【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，分两步，
①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，
②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，
故选：C．
【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．
11．（5分）已知双曲线
的右焦点为F，过F且斜率为
的直线交C于A、B两点，若
=4
，则C的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推
，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据
，求得离心率．
【解答】解：设双曲线
的右准线为l，
过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，
由直线AB的斜率为
，
知直线AB的倾斜角为60°
∴∠BAD=60°
，
由双曲线的第二定义有：
=
∴
，∴
故选：A．
【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．
12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）
A．南 B．北 C．西 D．下
【考点】LC：空间几何体的直观图
【专题】16：压轴题．
【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．
【解答】解：如图所示．
故选B
【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x
﹣y
）4的展开式中x3y3的系数为6．
【考点】DA：二项式定理
【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数
【解答】解：
，
只需求
展开式中的含xy项的系数．
∵
的展开式的通项为
令
得r=2
∴展开式中x3y3的系数为C42=6
下面这些是小编精心收集整理的理科高考数学试卷全国Ⅱ卷，希望可以帮助到有需要的朋友，欢迎阅读下载。
理科高考数学试卷全国Ⅱ卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）=（）
A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i
2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（）
A．φ B．（3，4） C．（﹣2，1） D．（4，+∞）
3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）
A． B． C． D．
4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）
A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0
5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）
A． B． C．5 D．25
7．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
8．（5分）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）
A． B． C． D．
9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）
A． B． C． D．
10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率为（）
A． B． C． D．
12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）
A．南 B．北 C．西 D．下
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为 ．
14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5a3，则= ．
15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 ．
16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．
18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．
（Ⅰ）证明：AB=AC；
（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．
