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全国高考文科数学真题和答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
2．（5分）复数
=（）
A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）
A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|
4．（5分）椭圆
=1的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）
A．120 B．720 C．1440 D．5040
6．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）
A．18 B．24 C．36 D．48
10．（5分）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（）
A．（
，
） B．（﹣
，0） C．（0，
） D．（
，
）
11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+
）+cos（2x+
），则（）
A．y=f（x）在（0，
）单调递增，其图象关于直线x=
对称
B．y=f（x）在（0，
）单调递增，其图象关于直线x=
对称
C．y=f（x）在（0，
）单调递减，其图象关于直线x=
对称
D．y=f（x）在（0，
）单调递减，其图象关于直线x=
对称
12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时 f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量
+
与向量k
﹣
垂直，则k= ．
14．（5分）若变量x，y满足约束条件
，则z=x+2y的最小值为 ．
15．（5分）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为 ．
16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．
三、解答题（共8小题，满分70分）
17．（12分）已知等比数列{an}中，a1=
，公比q=
．
（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD
（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．
19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]
频数82042228
B配方的频数分布表
指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]
频数412423210
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
21．（12分）已知函数f（x）=
+
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞
．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（α为参数）M是C1上的动点，P点满足
=2
，P点的轨迹为曲线C2
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=
与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．
24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【考点】1E：交集及其运算
【专题】11：计算题．
【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P的子集个数．
【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，
∴P=M∩N={1，3}
∴P的子集共有22=4
故选：B．
【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素，则其子集的个数是2n．
2．（5分）复数
=（）
A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i
【考点】A5：复数的运算
【专题】11：计算题．
【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1 代替即可．
【解答】解：
=﹣2+i
故选：C．
【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）
A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．
【解答】解：对于A．y=2x3，由f（﹣x）=﹣2x3=﹣f（x），为奇函数，故排除A；
对于B．y=|x|+1，由f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=x+1，是增函数，故B正确；
对于C．y=﹣x2+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；
对于D．y=2﹣|x|，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2﹣x，为减函数，故排除D．
故选：B．
【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．
4．（5分）椭圆
=1的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】K4：椭圆的性质
【专题】11：计算题．
【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．
【解答】解：根据椭圆的方程
=1，可得a=4，b=2
，
则c=
=2
；
则椭圆的离心率为e=
=
，
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．
5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）
A．120 B．720 C．1440 D．5040
【考点】EF：程序框图
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可．
【解答】解：执行程序框图，有
N=6，k=1，p=1
P=1，k＜N成立，有k=2
P=2，k＜N成立，有k=3
P=6，k＜N成立，有k=4
P=24，k＜N成立，有k=5
P=120，k＜N成立，有k=6
P=720，k＜N不成立，输出p的值为720．
故选：B．
【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．
6．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式
【专题】5I：概率与统计．
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，
满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，
由于共有三个小组，则有3种结果，
根据古典概型概率公式得到P=
，
故选：A．
【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．
7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【考点】GS：二倍角的三角函数；I5：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【专题】11：计算题．
【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．
【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，
所以cos2θ=
=
=
，
则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×
﹣1=﹣
．
故选：B．
【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．
8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】L7：简单空间图形的三视图
【专题】13：作图题．
【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．
【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，
是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，
∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，
故选：D．
【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．
9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）
A．18 B．24 C．36 D．48
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合
【专题】44：数形结合法．
【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．
【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），
则焦点为F（
，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣
∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，
又∵AB⊥x轴
∴|AB|=2p=12
∴p=6
又∵点P在准线上
∴DP=（
+|
|）=p=6
∴S△ABP=
（DP•AB）=
×6×12=36
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．
10．（5分）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（）
A．（
，
） B．（﹣
，0） C．（0，
） D．（
，
）
【考点】52：函数零点的判定定理
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】根据导函数判断函数f（x）=ex+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间．
【解答】解：∵函数f（x）=ex+4x﹣3
∴f′（x）=ex+4
当x＞0时，f′（x）=ex+4＞0
∴函数f（x）=ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e0﹣3=﹣2＜0
f（
）=
﹣1＞0
f（
）=
﹣2=
﹣
＜0
∵f（
）•f（
）＜0，
∴函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（
，
）
故选：A．
【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题．
11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+
）+cos（2x+
），则（）
A．y=f（x）在（0，
）单调递增，其图象关于直线x=
对称
B．y=f（x）在（0，
）单调递增，其图象关于直线x=
对称
C．y=f（x）在（0，
）单调递减，其图象关于直线x=
对称
D．y=f（x）在（0，
）单调递减，其图象关于直线x=
对称
【考点】H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的奇偶性和对称性
【专题】57：三角函数的图像与性质．
以下是关于全国高考文科数学真题和答案的相关内容，欢迎大家前来阅读，希望对大家有所帮助。
全国高考文科数学真题和答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
2．（5分）复数=（）
A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）
A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|
4．（5分）椭圆=1的离心率为（）
A． B． C． D．
5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）
A．120 B．720 C．1440 D．5040
6．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）
A． B． C． D．
7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）
A．﹣ B．﹣ C． D．
8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）
A． B． C． D．
9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）
A．18 B．24 C．36 D．48
10．（5分）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（）
A．（，） B．（﹣，0） C．（0，） D．（，）
11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）
A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称
B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称
C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称
D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称
12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时 f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k= ．
14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为 ．
15．（5分）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为 ．
16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．
三、解答题（共8小题，满分70分）
17．（12分）已知等比数列{an}中，a1=，公比q=．
（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=
