全国统一高考数学试卷（理科）（含解析版）下载

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全国统一高考数学试卷（理科）（含解析版）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.

1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）

A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}

2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）

A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i

3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）

A．1 B．2 C．3 D．5

4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）

A．5 B． C．2 D．1

5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）

A． B． C． D．

7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）

A．4 B．5 C．6 D．7

8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）

A．0 B．1 C．2 D．3

9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）

A．10 B．8 C．3 D．2

10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）

A． B． C． D．

11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）

A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）

C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）

13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．

14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 ．

15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是 ．

16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.

17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．

（Ⅰ）证明{an+}是等比数列，并求{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：++…+＜．

18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．

19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：

年份2007200820092010201120122013

年份代号t1234567

人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．

20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．

（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．

21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；

（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】

22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：

（Ⅰ）BE=EC；

（Ⅱ）AD•DE=2PB2．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]

（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．

六、解答题（共1小题，满分0分）

24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．

（Ⅰ）证明：f（x）≥2；

（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.

1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）

A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}

【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有

【专题】5J：集合．

【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．

【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，

∴M∩N={1，2}，

故选：D．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）

A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i

【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有

【专题】5N：数系的扩充和复数．

【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．

【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），

∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，

∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），

则对应的复数，z2=﹣2+i，

则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，

故选：A．

【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．

3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）

A．1 B．2 C．3 D．5

【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有

【专题】5A：平面向量及应用．

【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．

【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，

∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，

两式相减得4•=10﹣6=4，

即•=1，

故选：A．

【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．

4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）

A．5 B． C．2 D．1

【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有

【专题】56：三角函数的求值．

【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．

【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，

∴S=acsinB=，即sinB=，

当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，

利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，

当B为锐角时，cosB==，

利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，

此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，

则AC=．

故选：B．

【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有

【专题】5I：概率与统计．

【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．

【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，

解得p=0.8，

故选：A．

【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．

6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）

A． B． C． D．

【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有

【专题】5F：空间位置关系与距离．

【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．

【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，

组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．

底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π

切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．

故选：C．

【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）

A．4 B．5 C．6 D．7

【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有

【专题】5K：算法和程序框图．

【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．

【解答】解：若x=t=2，

则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，

第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，

此时3≤2不成立，输出S=7，

故选：D．

【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．

8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有

【专题】52：导数的概念及应用．

【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．

【解答】解：，

∴y′（0）=a﹣1=2，

∴a=3．

故选：D．

【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．

9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）

A．10 B．8 C．3 D．2

【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】59：不等式的解法及应用．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．

由z=2x﹣y得y=2x﹣z，

平移直线y=2x﹣z，

由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，

此时z最大．

由，解得，即C（5，2）

代入目标函数z=2x﹣y，

得z=2×5﹣2=8．

故选：B．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）

A． B． C． D．

【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．

【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，

则F（，0）．

∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），

即x=y+．

联立 ，得4y2﹣12y﹣9=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1+y2=3，y1y2=﹣．

∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=×|y1﹣y2|==×=．

故选：D．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．

11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有

【专题】5F：空间位置关系与距离．

【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．

【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，

，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，

∵BC=CA=CC1，

设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，

在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．

故选：C．

【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．

12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）

A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）

C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有

【专题】57：三角函数的图像与性质．

【分析】由题意可得，f（x0）=±，且 =kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．

【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即 =kπ+，k∈z，即 x0=m．

再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，

∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．

求得 m＞2，或m＜﹣2，

故选：C．

【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）

13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．

【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有

【专题】5P：二项式定理．

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．

【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为 Tr+1=•x10﹣r•ar，

令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，

∴a=，

故答案为：．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．

14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．

【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有

【专题】56：三角函数的求值．

【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．

【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）

=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ

=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，

故函数f（x）的最大值为1，

故答案为：1．

【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．

15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．

【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有

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全国统一高考数学试卷（理科）（含解析版）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.

1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）

A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}

2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）

A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i

3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）

A．1 B．2 C．3 D．5

4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）

A．5 B． C．2 D．1

5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）

A． B． C． D．

7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）

A．4 B．5 C．6 D．7

8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）

A．0 B．1 C．2 D．3

9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）

A．10 B．8 C．3 D．2

10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）

A． B． C． D．

11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）

A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）

C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）

13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．

14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 ．

15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是 ．

16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.

17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．

（Ⅰ）证明{an+}是等比数列，并求{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：++…+＜．

18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．