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全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（含解析版）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（ ）
A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2}
C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}
2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（ ）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
3．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（ ）
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
5．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣3
C．﹣2 D．﹣1
6．（5分）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（ ）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
9．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：
，若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）
A．2 B．1 C．
D．
10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A．∃x0∈R，f（x0）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0
11．（5分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8x
C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x
12．（5分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则
•
= ．
14．（5分）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为
，则n= ．
15．（5分）设θ为第二象限角，若tan（θ+
）=
，则sinθ+cosθ= ．
16．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为 ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：
17．（12分）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．
18．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=
AB．
（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD
（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．
19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（Ⅰ）将T表示为x的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．
20．（12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：
（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣
=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为
．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ln（x+m）
（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．
选考题：（第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分评分，作答时请写清题号）
22．（10分）【选修4﹣1几何证明选讲】
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．
（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
23．已知动点P、Q都在曲线
（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（1）求M的轨迹的参数方程；
（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
24．【选修4﹣﹣5；不等式选讲】
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（ ）
A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}
【考点】1E：交集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集．
【解答】解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，
∵N={﹣1，0，1，2，3}，
∴M∩N={0，1，2}．
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（ ）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．
【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，
∴z=
=﹣1+i
故选：A．
【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．
3．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到
，解出即可．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵S3=a2+10a1，a5=9，
∴
，解得
．
∴
．
故选：C．
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．
4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（ ）
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
【考点】LJ：平面的基本性质及推论；LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．
【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，
又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．
由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，
与m，n异面矛盾．
故α与β相交，且交线平行于l．
故选：D．
【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．
5．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为
+a•
=5，由此解得a的值．
【解答】解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+
x+
x2+
x3+
x4+
x5）
展开式中x2的系数为
+a•
=5，解得a=﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
6．（5分）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】27：图表型．
【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．
【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，
S=0+1=1，k=1+1=2；
判断k＞10不成立，执行S=1+
，k=2+1=3；
判断k＞10不成立，执行S=1+
+
，k=3+1=4；
判断k＞10不成立，执行S=1+
+
+
，k=4+1=5；
…
判断i＞10不成立，执行S=
，k=10+1=11；
判断i＞10成立，输出S=
．
算法结束．
故选：B．
【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．
7．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；13：作图题．
【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．
【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：
故选：A．
【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．
8．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（ ）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可．
【解答】解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，
因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，
∵
，
，
所以log32＞log52＞log72，
所以a＞b＞c，
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于基础题．
9．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：
，若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）
A．2 B．1 C．
D．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．
即2x+y=1，
由
，解得
，
即C（1，﹣1），
∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，
∴﹣1=﹣2a，
解得a=
．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A．∃x0∈R，f（x0）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．
【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b．
（1）当△=4a2﹣12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下
x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）
f′（x）+0﹣0+
f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增
由表格可知：
①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．
②∵
+f（x）=
+x3+ax2+bx+c=
﹣
+2c，
=
，
∵
+f（x）=
，
∴点P
为对称中心，故B正确．
③由表格可知x1，x2分别为极值点，则
，故D正确．
④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．
（2）当△≤0时，
，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；
②B同（1）中②正确；
③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃x0∈R，f（x0）=0，故A正确．
综上可知：错误的结论是C．
由于该题选择错误的，故选：C．
【点评】熟练掌握导数的运算法则、中心得出的定义、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法．
11．（5分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8x
C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x
【考点】K7：抛物线的标准方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线方程算出|OF|=
，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=
．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．
【解答】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），
∴焦点F坐标为（
，0），可得|OF|=
，
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM，
Rt△AOF中，|AF|=
=
，
∴sin∠OAF=
=
，
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF=
=
，
∵|MF|=5，|AF|=
∴
=
，整理得4+
=
，解之可得p=2或p=8
因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故选：C．
方法二：
∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（
，0），
设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+
=5，可得x=5﹣
，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为
=
，
由已知圆半径也为
，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即M（5﹣
，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．
所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故选：C．
大家好，今天小编为大家整理了一些有关于全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（含解析版）的内容，希望可以对大家有帮助，欢迎各位阅读和下载。
全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（含解析版）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（ ）
A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2}
C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}
2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（ ）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
3．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（ ）
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
5．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣3
C．﹣2 D．﹣1
6．（5分）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（ ）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
9．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A．∃x0∈R，f（x0）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0
11．（5分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8x
C．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x
12．（5分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A．（0，1） B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•= ．
