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山东高考理科数学试题及解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．（5分）（2016•山东）若复数z满足2z+
=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．（5分）（2016•山东）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）
3．（5分）（2016•山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）
A．56 B．60 C．120 D．140
4．（5分）（2016•山东）若变量x，y满足
，则x2+y2的最大值是（）
A．4 B．9 C．10 D．12
5．（5分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）
A．
+
π B．
+
π C．
+
π D．1+
π
6．（5分）（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）（2016•山东）函数f（x）=（
sinx+cosx）（
cosx﹣sinx）的最小正周期是（）
A．
B．π C．
D．2π
8．（5分）（2016•山东）已知非零向量
，
满足4|
|=3|
|，cos＜
，
＞=
．若
⊥（t
+
），则实数t的值为（）
A．4 B．﹣4 C．
D．﹣
9．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞
时，f（x+
）=f（x﹣
）．则f（6）=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
10．（5分）（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．
12．（5分）（2016•山东）若（ax2+
）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=．
13．（5分）（2016•山东）已知双曲线E：
﹣
=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．
14．（5分）（2016•山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．
15．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）=
，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．
三、解答题,：本大题共6小题，共75分.
16．（12分）（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=
+
．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
17．（12分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB=
AC=2
，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
18．（12分）（2016•山东）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=
，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．（12分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是
，乙每轮猜对的概率是
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
20．（13分）（2016•山东）已知f（x）=a（x﹣lnx）+
，a∈R．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+
对于任意的x∈[1，2]成立．
21．（14分）（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率是
，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求
的最大值及取得最大值时点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．（5分）（2016•山东）若复数z满足2z+
=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算
【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数．
【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．
【解答】解：复数z满足2z+
=3﹣2i，
设z=a+bi，
可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．
解得a=1，b=﹣2．
z=1﹣2i．
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
2．（5分）（2016•山东）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）
【考点】并集及其运算
【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合．
【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案．
【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），
B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），
∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
3．（5分）（2016•山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）
A．56 B．60 C．120 D．140
【考点】频率分布直方图
【专题】计算题；图表型；概率与统计．
【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．
【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，
故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．
4．（5分）（2016•山东）若变量x，y满足
，则x2+y2的最大值是（）
A．4 B．9 C．10 D．12
【考点】简单线性规划
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
∵A（0，﹣3），C（0，2），
∴|OA|＞|OC|，
联立
，解得B（3，﹣1）．
∵
，
∴x2+y2的最大值是10．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
5．（5分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）
A．
+
π B．
+
π C．
+
π D．1+
π
【考点】由三视图求面积、体积
【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，
半球的直径为棱锥的底面对角线，
由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=
．
故R=
，故半球的体积为：
=
π，
棱锥的底面面积为：1，高为1，
故棱锥的体积V=
，
故组合体的体积为：
+
π，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
6．（5分）（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【专题】探究型；空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，
当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，
故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．
7．（5分）（2016•山东）函数f（x）=（
sinx+cosx）（
cosx﹣sinx）的最小正周期是（）
A．
B．π C．
D．2π
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．
【解答】解：数f（x）=（
sinx+cosx）（
cosx﹣sinx）=2sin（x+
）•2cos（x+
）=2sin（2x+
），
∴T=π，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．
8．（5分）（2016•山东）已知非零向量
，
满足4|
|=3|
|，cos＜
，
＞=
．若
⊥（t
+
），则实数t的值为（）
A．4 B．﹣4 C．
D．﹣
【考点】平面向量数量积的运算
【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用．
【分析】若
⊥（t
+
），则
•（t
+
）=0，进而可得实数t的值．
【解答】解：∵4|
|=3|
|，cos＜
，
＞=
，
⊥（t
+
），
∴
•（t
+
）=t
•
+
2=t|
|•|
|•
+|
|2=（
）|
|2=0，
解得：t=﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．
9．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞
时，f（x+
）=f（x﹣
）．则f（6）=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【考点】抽象函数及其应用
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．
【解答】解：∵当x＞
时，f（x+
）=f（x﹣
），
∴当x＞
时，f（x+1）=f（x），即周期为1．
∴f（6）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（1）=﹣f（﹣1），
∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，
∴f（﹣1）=﹣2，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，
∴f（6）=2．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．
10．（5分）（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．
【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；
当y=lnx时，y′=
＞0恒成立，不满足条件；
当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件；
当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；
故选：A
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为3．
【考点】程序框图
【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．
第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2；
第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；
第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b，
故输出的i值为：3，
故答案为：3
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
12．（5分）（2016•山东）若（ax2+
）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=﹣2．
【考点】二项式系数的性质
【专题】二项式定理．
【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=
（ax2）5﹣r
，化简可得求的x5的系数．
【解答】解：（ax2+
）5的展开式的通项公式Tr+1=
（ax2）5﹣r
=
a5﹣r
，
令10﹣
=5，解得r=2．
∵（ax2+
）5的展开式中x5的系数是﹣80
∴
a3=﹣80，
得a=﹣2．
下面这些是小编精心收集整理的山东高考理科数学试题及解析，希望可以帮助到有需要的朋友，欢迎阅读下载。
山东高考理科数学试题及解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．（5分）（2016•山东）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．（5分）（2016•山东）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）
3．（5分）（2016•山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）
A．56 B．60 C．120 D．140
4．（5分）（2016•山东）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）
A．4 B．9 C．10 D．12
5．（5分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）
A．+π B．+π C．+π D．1+π
6．（5分）（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）（2016•山东）函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）
A． B．π C． D．2π
8．（5分）（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）
A．4 B．﹣4 C． D．﹣
9．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
10．（5分）（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．
12．（5分）（2016•山东）若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=．
13．（5分）（2016•山东）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．
14．（5分）（2016•山东）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．
15．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．
三、解答题,：本大题共6小题，共75分.
16．（12分）（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
17．（12分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
