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高考理科数学全国Ⅰ卷答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（5分）已知
=2+i，则复数z=（）
A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i
3．（5分）不等式
＜1的解集为（）
A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x＜0}
4．（5分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）
A．
B．2 C．
D．
5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
6．（5分）设
、
、
是单位向量，且
，则
•
的最小值为（）
A．﹣2 B．
﹣2 C．﹣1 D．1﹣
7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（
，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为
，Q到α的距离为
，则P、Q两点之间距离的最小值为（）
A．1 B．2 C．
D．4
11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数
12．（5分）已知椭圆C：
+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若
=3
，则|
|=（）
A．
B．2 C．
D．3
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．
14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8= ．
15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ．
16．（5分）若
，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．
18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=
，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．
19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．
20．（12分）在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+
）an+
．
（1）设bn=
，求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．
22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．
（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；
（2）证明：
．
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】1H：交、并、补集的混合运算
【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．
【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，
A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．
也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁UA）∪（∁UB）
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．
2．（5分）已知
=2+i，则复数z=（）
A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i
【考点】A1：虚数单位i、复数
【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．
【解答】解：
，∴z=1﹣3i
故选：B．
【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．
3．（5分）不等式
＜1的解集为（）
A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x＜0}
【考点】7E：其他不等式的解法
【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．
【解答】解：∵
＜1，
∴|x+1|＜|x﹣1|，
∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．
∴x＜0．
∴不等式的解集为{x|x＜0}．
故选：D．
【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．
4．（5分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）
A．
B．2 C．
D．
【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合
【专题】11：计算题．
【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．
【解答】解：由题双曲线
的一条渐近线方程为
，
代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，
因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，
即
，
故选：C．
【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．
5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理
【专题】5O：排列组合．
【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．
【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；
（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．
故选：D．
【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！
6．（5分）设
、
、
是单位向量，且
，则
•
的最小值为（）
A．﹣2 B．
﹣2 C．﹣1 D．1﹣
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算
【专题】16：压轴题．
【分析】由题意可得 
=
，故要求的式子即 
﹣（
）•
+
=1﹣
cos
=1﹣
cos
，再由余弦函数的值域求出它的最小值．
【解答】解：∵
、
、
是单位向量，
，∴
，
=
．
∴
•
=
﹣（
）•
+
=0﹣（
）•
+1=1﹣
cos
=1﹣
cos
≥
．
故选：D．
【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．
7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系
【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．
【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；
并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=
，|A1D|=
，|A1B|=
，
由余弦定理，得cosθ=
=
．
故选：D．
【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．
8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（
，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】HB：余弦函数的对称性
【专题】11：计算题．
【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点
中心对称，令x=
代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．
【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点
中心对称．
∴
∴
由此易得
．
故选：A．
【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．
9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程
【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．
【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），
又∵
∴x0+a=1
∴y0=0，x0=﹣1
∴a=2．
故选：B．
【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线
10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为
，Q到α的距离为
，则P、Q两点之间距离的最小值为（）
A．1 B．2 C．
D．4
【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．
【解答】解：如图
分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，
连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，
，
又∵
当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数
【考点】3I：奇函数、偶函数
【专题】16：压轴题．
【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．
【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，
∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，
故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），
函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．
∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），
f（﹣x+3）=﹣f（x+3），
f（x+3）是奇函数．
故选：D．
【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．
12．（5分）已知椭圆C：
+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若
=3
，则|
|=（）
A．
B．2 C．
D．3
【考点】K4：椭圆的性质
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据
，求出BM，AN，进而可得|AF|．
【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，
并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．
由题意
，
故FM=
，故B点的横坐标为
，纵坐标为±
即BM=
，
故AN=1，
∴
．
故选：A．
【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．
【考点】DA：二项式定理
【专题】11：计算题．
【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=Cn0anb0+Cn1an﹣1b1+Cn2an﹣2b2++Cnran﹣rbr++Cnna0bn，各项的通项公式为：Tr+1=Cnran﹣rbr．然后根据题目已知求解即可．
【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，
含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．
由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．
故答案为﹣240．
【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=Cn0anb0+Cn1an﹣1b1+Cn2an﹣2b2++Cnran﹣rbr++Cnna0bn，属于重点考点，同学们需要理解记忆．
14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8=27．
今天小编精心为大家整理了一些高考理科数学全国Ⅰ卷答案的相关内容，希望能帮助到大家，欢迎大家阅读和参考。
高考理科数学全国Ⅰ卷答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）
A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i
3．（5分）不等式＜1的解集为（）
A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x＜0}
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）
A． B．2 C． D．
5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣
7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）
A． B． C． D．
8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）
A． B． C． D．
9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）
A．1 B．2 C． D．4
11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数
12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（）
A． B．2 C． D．3
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．
14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8= ．
15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ．
16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．
18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
