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理科高考数学试卷全国一卷
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）
A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1]
2．（5分）
=（）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数
4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）
A．
B．3 C．
m D．3m
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）设α∈（0，
），β∈（0，
），且tanα=
，则（）
A．3α﹣β=
B．3α+β=
C．2α﹣β=
D．2α+β=
9．（5分）不等式组
的解集记为D，有下列四个命题：
p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（）
A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3
10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
=4
，则|QF|=（）
A．
B．3 C．
D．2
11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）
A．6
B．6 C．4
D．4
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 ．（用数字填写答案）
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．
15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若
=
（
+
），则
与
的夹角为 ．
16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
三、解答题
17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数
和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数
，σ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：
≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．
（Ⅰ）证明：AC=AB1；
（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．
20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为
，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．已知曲线C：
+
=1，直线l：
（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
选修4-5：不等式选讲
24．若a＞0，b＞0，且
+
=
．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）
A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1]
【考点】1E：交集及其运算
【专题】5J：集合．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，
解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），
∵B=[﹣2，2），
∴A∩B=[﹣2，﹣1]．
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）
=（）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【考点】A5：复数的运算
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．
【解答】解：
=
=﹣（1+i）=﹣1﹣i，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，
|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，
f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．
|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）
A．
B．3 C．
m D．3m
【考点】KC：双曲线的性质
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．
【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为
，
∴一个焦点为（
，0），一条渐近线方程为
=0，
∴点F到C的一条渐近线的距离为
=
．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．
【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，
周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，
∴所求概率为
=
．
故选：D．
【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】3P：抽象函数及其应用
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．
【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx|•|sinx|=
|sin2x|，
其周期为T=
，最大值为
，最小值为0，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）
A．
B．
C．
D．
【考点】EF：程序框图
【专题】5I：概率与统计．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+
=
，a=2，b=
，n=2；
第二次循环M=2+
=
，a=
，b=
，n=3；
第三次循环M=
+
=
，a=
，b=
，n=4．
不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=
．
故选：D．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
8．（5分）设α∈（0，
），β∈（0，
），且tanα=
，则（）
A．3α﹣β=
B．3α+β=
C．2α﹣β=
D．2α+β=
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．
【解答】解：由tanα=
，得：
，
即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）=cosα=sin（
），
∵α∈（0，
），β∈（0，
），
∴当
时，sin（α﹣β）=sin（
）=cosα成立．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．
9．（5分）不等式组
的解集记为D，有下列四个命题：
p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（）
A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3
【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义
【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】作出不等式组
的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．
【解答】解：作出图形如下：
由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，
p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；
p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；
p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；
p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；
综上所述，p1、p2正确；
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．
10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
=4
，则|QF|=（）
A．
B．3 C．
D．2
【考点】K8：抛物线的性质
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．
【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，
∵
=4
，
∴|PQ|=3d，
∴不妨设直线PF的斜率为﹣
=﹣2
，
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=﹣2
（x﹣2），
与y2=8x联立可得x=1，
∴|QF|=d=1+2=3，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
【考点】53：函数的零点与方程根的关系
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．
【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=
时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（
）=
﹣3•
+1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．
12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）
A．6
B．6 C．4
D．4
【考点】L!：由三视图求面积、体积
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．
【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，
∴
．AC=
=6，AD=4
，
显然AC最长．长为6．
故选：B．
【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）
【考点】DA：二项式定理
【专题】11：计算题；5P：二项式定理．
【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．
这是小编为大家整理的理科高考数学试卷全国一卷一些相关内容，欢迎大家复制和下载，希望对大家有所帮助。
理科高考数学试卷全国一卷
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）
A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1]
2．（5分）=（）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数
4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）
A． B．3 C．m D．3m
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）
A． B． C． D．
6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）
A． B．
C． D．
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）
A． B． C． D．
8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）
A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=
9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：
p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（）
A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3
10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）
A． B．3 C． D．2
11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）
A．6 B．6 C．4 D．4
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 ．（用数字填写答案）
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
