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全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）
2．（5分）若tanα＞0，则（）
A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0
3．（5分）设z=
+i，则|z|=（）
A．
B．
C．
D．2
4．（5分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）
A．2 B．
C．
D．1
5．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数
6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则
+
=（）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+
），④y=tan（2x﹣
）中，最小正周期为π的所有函数为（）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）
A．
B．
C．
D．
10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|
x0|，则x0=（）
A．1 B．2 C．4 D．8
11．（5分）设x，y满足约束条件
且z=x+ay的最小值为7，则a=（）
A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3
12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 ．
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．
15．（5分）设函数f（x）=
，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是 ．
16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（12分）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{
}的前n项和．
18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）
频数62638228
（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．
（1）证明：B1C⊥AB；
（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．
20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
21．（12分）设函数f（x）=alnx+
x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
（1）求b；
（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜
，求a的取值范围．
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．已知曲线C：
+
=1，直线l：
（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【选修4-5：不等式选讲】
24．若a＞0，b＞0，且
+
=
．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，
则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）若tanα＞0，则（）
A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0
【考点】GC：三角函数值的符号．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．
【解答】解：∵tanα＞0，
∴
，
则sin2α=2sinαcosα＞0．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．
3．（5分）设z=
+i，则|z|=（）
A．
B．
C．
D．2
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．
【分析】先求z，再利用求模的公式求出|z|．
【解答】解：z=
+i=
+i=
．
故|z|=
=
．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的运算，属于容易题．
4．（5分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）
A．2 B．
C．
D．1
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a．
【解答】解：由题意，
e=
=
=2，
解得，a=1．
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的定义，属于基础题．
5．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，
|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，
f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．
|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则
+
=（）
A．
B．
C．
D．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量加法的三角形法则，将
，
分解为
+
和
+
的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．
【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
∴
+
=（
+
）+（
+
）=
+
=
（
+
）=
，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则是解答的关键．
7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+
），④y=tan（2x﹣
）中，最小正周期为π的所有函数为（）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．
【解答】解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为 
=π，
②y=丨cosx丨的最小正周期为
=π，
③y=cos（2x+
）的最小正周期为 
=π，
④y=tan（2x﹣
）的最小正周期为 
，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．
8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项．
【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，
可知几何体如图：几何体是三棱柱．
故选：B．
【点评】本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法，考查空间想象能力．
9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）
A．
B．
C．
D．
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+
=
，a=2，b=
，n=2；
第二次循环M=2+
=
，a=
，b=
，n=3；
第三次循环M=
+
=
，a=
，b=
，n=4．
不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=
．
故选：D．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|
x0|，则x0=（）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F
，
∵A（x0，y0）是C上一点，AF=|
x0|，x0＞0．
∴
=x0+
，
解得x0=1．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．
11．（5分）设x，y满足约束条件
且z=x+ay的最小值为7，则a=（）
A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3
【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】如图所示，当a≥1时，由
，解得
．当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，同理对a＜1得出．
【解答】解：如图所示，
当a≥1时，由
，
解得
，y=
．
∴
．
当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，
∴
，化为a2+2a﹣15=0，
解得a=3，a=﹣5舍去．
当a＜1时，不符合条件．
故选：B．
【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．
【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=
时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（
）=
﹣3•
+1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为
．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可．
【解答】解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有
=6种结果，
其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件．
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为A．
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】5M：推理和证明．
【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．
【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
大家好，今天小编为大家整理了一些有关于全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）的内容，希望可以对大家有帮助，欢迎各位阅读和下载。
全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）
2．（5分）若tanα＞0，则（）
A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0
3．（5分）设z=+i，则|z|=（）
A． B． C． D．2
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）
A．2 B． C． D．1
5．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数
6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）
A． B． C． D．
7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）
A． B． C． D．
10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）
A．1 B．2 C．4 D．8
11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）
A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3
12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 ．
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．
15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是 ．
16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．
