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全国统一高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．（5分）已知sinα﹣cosα=
，则sin2α=（）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
5．（5分）设x，y满足约束条件
则z=x﹣y的取值范围是（）
A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]
6．（5分）函数f（x）=
sin（x+
）+cos（x﹣
）的最大值为（）
A．
B．1 C．
D．
7．（5分）函数y=1+x+
的部分图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A．π B．
C．
D．
10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
11．（5分）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）
A．﹣
B．
C．
D．1
二、填空题
13．（5分）已知向量
=（﹣2，3），
=（3，m），且
，则m= ．
14．（5分）双曲线
（a＞0）的一条渐近线方程为y=
x，则a= ．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=
，c=3，则A= ．
16．（5分）设函数f（x）=
，则满足f（x）+f（x﹣
）＞1的x的取值范围是 ．
三、解答题
17．（12分）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{
}的前n项和．
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）
天数216362574
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣
﹣2．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为
，（t为参数），直线l2的参数方程为
，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数．
【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，
∴A∩B={2，4}，
∴A∩B中元素的个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版权所有
【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计．
【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．
【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A错误；
年接待游客量逐年增加，故B正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题．
4．（5分）已知sinα﹣cosα=
，则sin2α=（）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．
【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．
【解答】解：∵sinα﹣cosα=
，
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=
，
∴sin2α=﹣
，
故选：A．
【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题．
5．（5分）设x，y满足约束条件
则z=x﹣y的取值范围是（）
A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．
【解答】解：x，y满足约束条件
的可行域如图：
目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，
由
解得A（0，3），
由
解得B（2，0），
目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，
目标函数的取值范围：[﹣3，2]．
故选：B．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．
6．（5分）函数f（x）=
sin（x+
）+cos（x﹣
）的最大值为（）
A．
B．1 C．
D．
【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．
【解答】解：函数f（x）=
sin（x+
）+cos（x﹣
）=
sin（x+
）+cos（﹣x+
）=
sin（x+
）+sin（x+
）
=
sin（x+
）
．
故选：A．
【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．
7．（5分）函数y=1+x+
的部分图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．
【解答】解：函数y=1+x+
，可知：f（x）=x+
是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，
则函数y=1+x+
的图象关于（0，1）对称，
当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．
8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．
【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论．
【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，
要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，
要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，
要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，
此时N的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A．π B．
C．
D．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何．
【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r=
=
，由此能求出该圆柱的体积．
【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
∴该圆柱底面圆周半径r=
=
，
∴该圆柱的体积：V=Sh=
=
．
故选：B．
【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．
10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】法一：连B1C，推导出BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，从而BC1⊥平面A1ECB1，由此得到A1E⊥BC1．
法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：法一：连B1C，由题意得BC1⊥B1C，
∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，
∴A1B1⊥BC1，
∵A1B1∩B1C=B1，
∴BC1⊥平面A1ECB1，
∵A1E⊂平面A1ECB1，
∴A1E⊥BC1．
故选：C．
法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），
=（﹣2，1，﹣2），
=（0，2，2），
=（﹣2，﹣2，0），
=（﹣2，0，2），
=（﹣2，2，0），
∵
•
=﹣2，
=2，
=0，
=6，
∴A1E⊥BC1．
故选：C．
【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
11．（5分）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离
=a，化简即可得出．
【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，
∴原点到直线的距离
=a，化为：a2=3b2．
∴椭圆C的离心率e=
=
=
．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）
A．﹣
B．
C．
D．1
【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+
）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．
【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+
）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+
）有唯一解，
等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+
）的图象只有一个交点．
①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+
）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+
）的图象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+
）的图象有两个交点，矛盾；
③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+
）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+
）的图象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=
，符合条件；
综上所述，a=
，
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．
二、填空题
13．（5分）已知向量
=（﹣2，3），
=（3，m），且
，则m=2．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．
【解答】解：∵向量
=（﹣2，3），
=（3，m），且
，
∴
=﹣6+3m=0，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．
大家好，今天小编为大家整理了一些有关于全国统一高考数学试卷（文科）的内容，希望可以对大家有帮助，欢迎各位阅读和下载。
全国统一高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）
A．﹣ B．﹣ C． D．
5．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）
A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]
6．（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）
A． B．1 C． D．
7．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A．π B． C． D．
10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
11．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）
A． B． C． D．
12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）
A．﹣ B． C． D．1
二、填空题
13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m= ．
14．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a= ．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A= ．
16．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是 ．
三、解答题
