全国统一高考数学试卷（文科）

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全国统一高考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）

A．5 B．4 C．3 D．2

2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）

A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）

3．（5分）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（）

A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i

4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）

A． B． C． D．

5．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）

A．3 B．6 C．9 D．12

6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）

A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛

7．（5分）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）

A． B． C．10 D．12

8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）

A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z

C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z

9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）

A．5 B．6 C．7 D．8

10．（5分）已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=（）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣

11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）

A．1 B．2 C．4 D．8

12．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）

A．﹣1 B．1 C．2 D．4

二、本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n= ．

14．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= ．

15．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 ．

16．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．

（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

（xi﹣）2（wi﹣）2（xi﹣）（yi﹣）（wi﹣）（yi﹣）

46.65636.8289.81.61469108.8

表中wi=i，=

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．

20．（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N两点．

（1）求k的取值范围；

（2）若•=12，其中O为坐标原点，求|MN|．

21．（12分）设函数f（x）=e2x﹣alnx．

（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；

（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln．

四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】

22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．

五、【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

六、【选修4-5：不等式选讲】

24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；

（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）

A．5 B．4 C．3 D．2

【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有

【专题】5J：集合．

【分析】根据集合的基本运算进行求解．

【解答】解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}，

则A∩B={8，14}，

故集合A∩B中元素的个数为2个，

故选：D．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）

A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）

【考点】9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有

【专题】5A：平面向量及应用．

【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．

【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），

则向量==（﹣7，﹣4）；

故选：A．

【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．

3．（5分）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（）

A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i

【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有

【专题】5N：数系的扩充和复数．

【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z﹣1，进一步求得z．

【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1=，

∴z=2﹣i．

故选：C．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．

4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）

A． B． C． D．

【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有

【专题】5I：概率与统计．

【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．

【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，

其中只有（3，4，5）为勾股数，

故这3个数构成一组勾股数的概率为．

故选：C．

【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．

5．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）

A．3 B．6 C．9 D．12

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．

【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，

可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，

抛物线的准线方程为：x=﹣2，

由，解得y=±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．

|AB|=6．

故选：B．

【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．

6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）

A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有

【专题】5F：空间位置关系与距离．

【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．

【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，

解得r=，

故米堆的体积为××π×（）2×5≈，

∵1斛米的体积约为1.62立方，

∴÷1.62≈22，

故选：B．

【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．

7．（5分）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）

A． B． C．10 D．12

【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．

【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

【解答】解：∵{an}是公差为1的等差数列，S8=4S4，

∴8a1+×1=4×（4a1+），

解得a1=．

则a10=+9×1=．

故选：B．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）

A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z

C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z

【考点】HA：余弦函数的单调性．菁优网版权所有

【专题】57：三角函数的图像与性质．

【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．

【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．

再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．

由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得 2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，

故选：D．

【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．

9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）

A．5 B．6 C．7 D．8

【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有

【专题】5K：算法和程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；

再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；

再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；

再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；

再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；

再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；

再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；

故输出的n值为7，

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

10．（5分）已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=（）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣

【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．

【分析】利用分段函数，求出a，再求f（6﹣a）．

【解答】解：由题意，a≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；

a＞1时，﹣log2（a+1）=﹣3，∴α=7，

∴f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．

故选：A．

【点评】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础．

11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）

A．1 B．2 C．4 D．8

【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有

【专题】5Q：立体几何．

【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．

【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，

截圆柱的平面过圆柱的轴线，

该几何体是一个半球拼接半个圆柱，

∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，

又∵该几何体的表面积为16+20π，

∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，

故选：B．

【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

12．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）

A．﹣1 B．1 C．2 D．4

【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有

【专题】26：开放型；51：函数的性质及应用．

【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．

【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，

y=log2x﹣a（x＞0），

即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．

∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，

∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，

∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，

∴﹣log22+a﹣log24+a=1，

解得，a=2，

故选：C．

【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题

二、本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n=6．

【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．

【分析】由an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．

【解答】解：∵an+1=2an，

∴，

∵a1=2，

∴数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，

∴Sn===2n+1﹣2=126，

∴2n+1=128，

∴n+1=7，

∴n=6．

故答案为：6

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．

14．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=1．

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有

【专题】53：导数的综合应用．

【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．

【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，

切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），

所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），

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全国统一高考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）

A．5 B．4 C．3 D．2

2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）

A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）

3．（5分）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（）

A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i

4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）

A． B． C． D．

5．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）

A．3 B．6 C．9 D．12

6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）

A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛

7．（5分）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）

A． B． C．10 D．12

8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）

A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z

C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z

9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）

A．5 B．6 C．7 D．8

10．（5分）已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=（）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣

11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）

A．1 B．2 C．4 D．8

12．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）

A．﹣1 B．1 C．2 D．4

二、本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n= ．

14．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= ．

15．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 ．

16．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．

（Ⅰ）若a=b，求cosB；