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全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）
2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（）
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
3．（5分）已知向量
=（1，m），
=（3，﹣2），且（
+
）⊥
，则m=（）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
4．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）
A．﹣
B．﹣
C．
D．2
5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）
A．24 B．18 C．12 D．9
6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．20π B．24π C．28π D．32π
7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）
A．x=
﹣
（k∈Z） B．x=
+
（k∈Z）
C．x=
﹣
（k∈Z） D．x=
+
（k∈Z）
8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）
A．7 B．12 C．17 D．34
9．（5分）若cos（
﹣α）=
，则sin2α=（）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
10．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）
A．
B．
C．
D．
11．（5分）已知F1，F2是双曲线E：
﹣
=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=
，则E的离心率为（）
A．
B．
C．
D．2
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=
与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则
（xi+yi）=（）
A．0 B．m C．2m D．4m
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=
，cosC=
，a=1，则b= ．
14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题是 （填序号）
15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．
18．（12分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数01234≥5
保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数01234≥5
概率0.300.150.200.200.100.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=
，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=
．
（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．
20．（12分）已知椭圆E：
+
=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．
21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=
ex的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）ex+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=
（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．
请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是
（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=
，求l的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣
|+|x+
|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．
【解答】解：z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，
可得：
，解得﹣3＜m＜1．
故选：A．
【点评】本题考查复数的几何意义，考查计算能力．
2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（）
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，
B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，
∴A∪B={0，1，2，3}．
故选：C．
【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．
3．（5分）已知向量
=（1，m），
=（3，﹣2），且（
+
）⊥
，则m=（）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5A：平面向量及应用．
【分析】求出向量
+
的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．
【解答】解：∵向量
=（1，m），
=（3，﹣2），
∴
+
=（4，m﹣2），
又∵（
+
）⊥
，
∴12﹣2（m﹣2）=0，
解得：m=8，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．
4．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）
A．﹣
B．﹣
C．
D．2
【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆．
【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d=
=1，
解得：a=
，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．
5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）
A．24 B．18 C．12 D．9
【考点】D2：分步乘法计数原理；D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5O：排列组合．
【分析】从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法，利用乘法原理可得结论．
【解答】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22=6种走法．
同理从F到G，最短的走法，有C31C22=3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题
6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．20π B．24π C．28π D．32π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2
，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．
【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2
，
∴在轴截面中圆锥的母线长是
=4，
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选：C．
【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．
7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）
A．x=
﹣
（k∈Z） B．x=
+
（k∈Z）
C．x=
﹣
（k∈Z） D．x=
+
（k∈Z）
【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．
【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移
个单位长度，得到y=2sin2（x+
）=2sin（2x+
），
由2x+
=kπ+
（k∈Z）得：x=
+
（k∈Z），
即平移后的图象的对称轴方程为x=
+
（k∈Z），
故选：B．
【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．
8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）
A．7 B．12 C．17 D．34
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=2，
当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；
故输出的S值为17，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
9．（5分）若cos（
﹣α）=
，则sin2α=（）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】36：整体思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（
﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．
法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值
【解答】解：法1°：∵cos（
﹣α）=
，
∴sin2α=cos（
﹣2α）=cos2（
﹣α）=2cos2（
﹣α）﹣1=2×
﹣1=﹣
，
法2°：∵cos（
﹣α）=
（sinα+cosα）=
，
∴
（1+sin2α）=
，
∴sin2α=2×
﹣1=﹣
，
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．
10．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．
【解答】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为
π•12，从区间[0，1】随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），对应的区域的面积为12．
∴
=
∴π=
．
故选：C．
【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．
11．（5分）已知F1，F2是双曲线E：
﹣
=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=
，则E的离心率为（）
A．
B．
C．
D．2
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由条件MF1⊥MF2，sin∠MF2F1=
，列出关系式，从而可求离心率．
【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，
则丨MF1丨=
，丨MF2丨=
，
∴sin∠MF2F1=
，∴
=
，
可得：2b4=a2c2，即
b2=ac，又c2=a2+b2，
可得
e2﹣e﹣
=0，
e＞1，解得e=
．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=
与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则
（xi+yi）=（）
A．0 B．m C．2m D．4m
【考点】3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．
【分析】由条件可得f（x）+f（﹣x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=
，即y=1+
的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，计算即可得到所求和．
【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），
即为f（x）+f（﹣x）=2，
可得f（x）关于点（0，1）对称，
函数y=
，即y=1+
的图象关于点（0，1）对称，
即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，
（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，
…
则有
（xi+yi）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym）
=
[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ym）]
=m．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=
，cosC=
，a=1，则b=
．
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形．
【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=
，代入计算即可得到所求值．
【解答】解：由cosA=
，cosC=
，可得
sinA=
=
=
，
sinC=
=
=
，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
×
+
×
=
，
由正弦定理可得b=
=
=
．
故答案为：
．
大家好，今天小编为大家整理了一些有关于全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）的内容，希望可以对大家有帮助，欢迎各位阅读和下载。
全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）
2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（）
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
3．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
4．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）
A．24 B．18 C．12 D．9
6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．20π B．24π C．28π D．32π
7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）
A．x=﹣（k∈Z） B．x=+（k∈Z）
C．x=﹣（k∈Z） D．x=+（k∈Z）
8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）
A．7 B．12 C．17 D．34
9．（5分）若cos（﹣α）=，则sin2α=（）
A． B． C．﹣ D．﹣
10．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）
A． B． C． D．
11．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）
A． B． C． D．2
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi+yi）=（）
A．0 B．m C．2m D．4m
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ．
14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题是 （填序号）
