今天小编为大家整理了有关于2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ），希望可以对大家有帮助。
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．复数
的虚部是（）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且
pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝
，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
5．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）
A．（
，0） B．（
，0） C．（1，0） D．（2，0）
6．已知向量
，
满足|
|＝5，|
|＝6，
•
＝﹣6，则cos＜
，
+
＞＝（）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
7．在△ABC中，cosC＝
，AC＝4，BC＝3，则cosB＝（）
A．
B．
C．
D．
8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）
A．6+4
B．4+4
C．6+2
D．4+2
9．已知2tanθ﹣tan（θ+
）＝7，则tanθ＝（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
10．若直线l与曲线y＝
和圆x2+y2＝
都相切，则l的方程为（）
A．y＝2x+1 B．y＝2x+
C．y＝
x+1 D．y＝
x+
11．设双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为
．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件
则z＝3x+2y的最大值为 ．
14．（x2+
）6的展开式中常数项是 （用数字作答）．
15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
16．关于函数f（x）＝sinx+
有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x＝
对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．设数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
18．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]
1（优）21625
2（良）51012
3（轻度污染）678
4（中度污染）720
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400人次＞400
空气质量好
空气质量不好
附：K2＝
P（K2≥k）0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．
（1）证明：点C1在平面AEF内；
（2）若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A﹣EF﹣A1的正弦值．
20．已知椭圆C：
+
＝1（0＜m＜5）的离心率为
，A，B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
21．设函数f（x）＝x3+bx+c，曲线y＝f（x）在点（
，f（
））处的切线与y轴垂直．
（1）求b；
（2）若f（x）有一个绝对值不大于1的零点，证明：f（x）所有零点的绝对值都不大于1．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A，B两点．
（1）求|AB|；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．
（1）证明：ab+bc+ca＜0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥
．
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】利用交集定义求出A∩B＝{（7，1），（6，2），（5，3），（4，4）}．由此能求出A∩B中元素的个数．
解：∵集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，
∴A∩B＝{（x，y）|
}＝{（7，1），（6，2），（5，3），（4，4）}．
∴A∩B中元素的个数为4．
故选：C．
2．复数
的虚部是（）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：∵
＝
，
∴复数
的虚部是
．
故选：D．
3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且
pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
【分析】根据题意，求出各组数据的方差，方差大的对应的标准差也大．
解：选项A：E（x）＝1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1＝2.5，所以D（x）＝（1﹣2.5）2×0.1+（2﹣2.5）2×0.4+（3﹣2.5）2×0.4+（4﹣2.5）2×0.1＝0.65；
同理选项B：E（x）＝2.5，D（x）＝2.05；
选项C：E（x）＝2.5，D（x）＝1.05；
选项D：E（x）＝2.5，D（x）＝1.45；
故选：B．
4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝
，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【分析】根据所给材料的公式列出方程
＝0.95K，解出t即可．
解：由已知可得
＝0.95K，解得e﹣0.23（t﹣53）＝
，
两边取对数有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，
解得t≈66，
故选：C．
5．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）
A．（
，0） B．（
，0） C．（1，0） D．（2，0）
【分析】利用已知条件转化求解E、D坐标，通过kOD•kOE＝﹣1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．
解：将x＝2代入抛物线y2＝2px，可得y＝±2
，OD⊥OE，可得kOD•kOE＝﹣1，
即
，解得p＝1，
所以抛物线方程为：y2＝2x，它的焦点坐标（
，0）．
故选：B．
6．已知向量
，
满足|
|＝5，|
|＝6，
•
＝﹣6，则cos＜
，
+
＞＝（）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【分析】利用已知条件求出|
|，然后利用向量的数量积求解即可．
解：向量
，
满足|
|＝5，|
|＝6，
•
＝﹣6，
可得|
|＝
＝
＝7，
cos＜
，
+
＞＝
＝
＝
＝
．
故选：D．
7．在△ABC中，cosC＝
，AC＝4，BC＝3，则cosB＝（）
A．
B．
C．
D．
【分析】先根据余弦定理求出AB，再代入余弦定理求出结论．
解：在△ABC中，cosC＝
，AC＝4，BC＝3，
由余弦定理可得AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC＝42+32﹣2×4×3×
＝9；
故AB＝3；
∴cosB＝
＝
＝
，
故选：A．
8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）
A．6+4
B．4+4
C．6+2
D．4+2
【分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公式计算即可．
解：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，
PA＝AB＝AC＝2，PA、AB、AC两两垂直，
故PB＝BC＝PC＝2
，
几何体的表面积为：3×
＝6+2
故选：C．
9．已知2tanθ﹣tan（θ+
）＝7，则tanθ＝（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】利用两角和差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可．
解：由2tanθ﹣tan（θ+
）＝7，得2tanθ﹣
＝7，
即2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，
得2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，
即tan2θ﹣4tanθ+4＝0，
即（tanθ﹣2）2＝0，
则tanθ＝2，
故选：D．
10．若直线l与曲线y＝
和圆x2+y2＝
都相切，则l的方程为（）
A．y＝2x+1 B．y＝2x+
C．y＝
x+1 D．y＝
x+
【分析】根据直线l与圆x2+y2＝
相切，利用选项到圆心的距离等于半径，在将直线与曲线y＝
求一解可得答案；
解：直线l与圆x2+y2＝
相切，那么直线到圆心（0，0）的距离等于半径
，
四个选项中，只有A，D满足题意；
对于A选项：y＝2x+1与y＝
联立可得：2x﹣
+1＝0，此时：无解；
对于D选项：y＝
x+
与y＝
联立可得：
x﹣
+
＝0，此时解得x＝1；
∴直线l与曲线y＝
和圆x2+y2＝
都相切，方程为y＝
x+
，
故选：D．
11．设双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为
．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（）
A．1 B．2 C．4 D．8
今天小编为大家整理了有关于2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ），希望可以对大家有帮助。
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．复数的虚部是（）
A．﹣ B．﹣ C． D．
3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
5．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）
A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0）
6．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）
A．﹣ B．﹣ C． D．
7．在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝（）
A． B． C． D．
8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）
A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
9．已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
10．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）
A．y＝2x+1 B．y＝2x+ C．y＝x+1 D．y＝x+
11．设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为 ．
14．（x2+）6的展开式中常数项是 （用数字作答）．
15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
16．关于函数f（x）＝sinx+有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x＝对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
