全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）

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全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）

一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．

1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）

A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}

2．（5分）=（）

A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i

3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）

A． B． C． D．

4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）

A．y= B．y= C．y=±x D．y=

5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）

A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q

6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（）

A．Sn=2an﹣1 B．Sn=3an﹣2 C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an

7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）

A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]

8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）

A．2 B．2 C．2 D．4

9．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）

A． B．

C． D．

10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）

A．10 B．9 C．8 D．5

11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π

12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）

A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．

13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t= ．

14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为 ．

15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为 ．

16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{}的前n项和．

18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5

2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4

1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°

（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．

20．（12分）已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．

（Ⅰ）证明：DB=DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．

（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

参考答案与试题解析

一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．

1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）

A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}

【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有

【专题】5J：集合．

【分析】由集合A中的元素分别平方求出x的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出交集．

【解答】解：根据题意得：x=1，4，9，16，即B={1，4，9，16}，

∵A={1，2，3，4}，

∴A∩B={1，4}．

故选：A．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）=（）

A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i

【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果．

【解答】解：====﹣1+i．

故选：B．

【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的乘方运算，考查计算能力．

3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）

A． B． C． D．

【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有

【专题】5I：概率与统计．

【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率．

【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42=6种结果，

满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），

∴要求的概率是 =．

故选：B．

【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果．

4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）

A．y= B．y= C．y=±x D．y=

【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．

【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），

则离心率e===，即4b2=a2，

故渐近线方程为y=±x=x，

故选：D．

【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．

5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）

A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q

【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有

【专题】21：阅读型；5L：简易逻辑．

【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．

【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．

令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，

即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．

则￢p∧q为真命题．

故选：B．

【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．

6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（）

A．Sn=2an﹣1 B．Sn=3an﹣2 C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an

【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有

【专题】54：等差数列与等比数列．

【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的关系式．

【解答】解：由题意可得an=1×=，

∴Sn==3﹣=3﹣2=3﹣2an，

故选：D．

【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属中档题．

7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）

A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]

【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．菁优网版权所有

【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．

【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．

【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：

函数分为两段，即t＜1与t≥1，

又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；

不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2

故分段函数的解析式为：s=，

如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，

则输出的s属于[﹣3，4]．

故选：A．

【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．

8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）

A．2 B．2 C．2 D．4

【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．

【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x

∴2p=4，可得=，得焦点F（）

设P（m，n）

根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，

即m+=4，解得m=3

∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24

∴n==

∵|OF|=

∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2

故选：C．

【点评】本题给出抛物线C：y2=4x上与焦点F的距离为4的点P，求△POF的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

9．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）

A． B．

C． D．

【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有

【专题】51：函数的性质及应用．

【分析】由函数的奇偶性可排除B，再由x∈（0，π）时，f（x）＞0，可排除A，求导数可得f′（0）=0，可排除D，进而可得答案．

【解答】解：由题意可知：f（﹣x）=（1﹣cosx）sin（﹣x）=﹣f（x），

故函数f（x）为奇函数，故可排除B，

又因为当x∈（0，π）时，1﹣cosx＞0，sinx＞0，

故f（x）＞0，可排除A，

又f′（x）=（1﹣cosx）′sinx+（1﹣cosx）（sinx）′

=sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x，

故可得f′（0）=0，可排除D，

故选：C．

【点评】本题考查三角函数的图象，涉及函数的奇偶性和某点的导数值，属基础题．

10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）

A．10 B．9 C．8 D．5

【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有

【专题】58：解三角形．

【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cosA的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．

【解答】解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0，即cos2A=，A为锐角，

∴cosA=，

又a=7，c=6，

根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即49=b2+36﹣b，

解得：b=5或b=﹣（舍去），

则b=5．

故选：D．

【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π

【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题；27：图表型．

【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．

【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．

大家好，今天小编为大家整理了一些有关于全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）的内容，希望可以对大家有帮助，欢迎各位阅读和下载。

全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（含解析版）

一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．

1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）

A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}

2．（5分）=（）

A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i

3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）

A． B． C． D．

4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）

A．y= B．y= C．y=±x D．y=

5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）

A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q

6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（）

A．Sn=2an﹣1 B．Sn=3an﹣2 C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an

7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）

A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]

8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）

A．2 B．2 C．2 D．4

9．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）

A． B．

C． D．

10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）

A．10 B．9 C．8 D．5

11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π

12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）

A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．

13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t= ．

14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为 ．

15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为 ．

16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{}的前n项和．

18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：