以下文章是小编精心整理的高考全国卷理科数学试卷及答案，可供大家参考阅读，希望能够帮助到大家。
高考全国卷理科数学试卷及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数z=1+i，
为z 的共轭复数，则z•
﹣z﹣1=（）
A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
2．（5分）函数y=
（x≥0）的反函数为（）
A．y=
（x∈R） B．y=
（x≥0） C．y=4x2（x∈R） D．y=4x2（x≥0）
3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
4．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）
A．
B．3 C．6 D．9
6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）
A．
B．
C．
D．1
7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）
A．
B．
C．
D．1
9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则
=（）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）
A．
B．
C．
D．
11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）
A．7π B．9π C．11π D．13π
12．（5分）设向量
，
，
满足|
|=|
|=1，
=﹣
，＜
﹣
，
﹣
＞=60°，则|
|的最大值等于（）
A．2 B．
C．
D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）
13．（5分）
的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 ．
14．（5分）已知α∈（
，π），sinα=
，则tan2α= ．
15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：
的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|= ．
16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=
，a+c=
b，求C．
18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
20．（12分）设数列{an}满足a1=0且
．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设
，记
，证明：Sn＜1．
21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：
在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣
的直线l与C交于A、B两点，点P满足
．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
22．（12分）（Ⅰ）设函数
，证明：当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：
．
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数z=1+i，
为z 的共轭复数，则z•
﹣z﹣1=（）
A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
【考点】A5：复数的运算
【专题】11：计算题．
【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．
【解答】解：
=1﹣i，所以
=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i
故选：B．
【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．
2．（5分）函数y=
（x≥0）的反函数为（）
A．y=
（x∈R） B．y=
（x≥0） C．y=4x2（x∈R） D．y=4x2（x≥0）
【考点】4R：反函数
【专题】11：计算题．
【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．
【解答】解：∵y=
（x≥0），
∴x=
，y≥0，
故反函数为y=
（x≥0）．
故选：B．
【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．
3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．
【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；
反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，
故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．
4．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（）
A．8 B．7 C．6 D．5
【考点】85：等差数列的前n项和
【专题】11：计算题．
【分析】先由等差数列前n项和公式求得Sk+2，Sk，将Sk+2﹣Sk=24转化为关于k的方程求解．
【解答】解：根据题意：
Sk+2=（k+2）2，Sk=k2
∴Sk+2﹣Sk=24转化为：
（k+2）2﹣k2=24
∴k=5
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．
5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）
A．
B．3 C．6 D．9
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】函数图象平移
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．
【解答】解：f（x）的周期T=
，函数图象平移
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以
，k∈Z．令k=1，可得ω=6．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．
6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）
A．
B．
C．
D．1
【考点】MK：点、线、面间的距离计算
【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想．
【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．
【解答】解：由题意画出图形如图：
直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，
若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，
所以AD=
，CD=
，BC=
由VB﹣ACD=VD﹣ABC可知
所以，h=
故选C．
【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．
7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
【考点】D3：计数原理的应用
【专题】11：计算题．
【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，
另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种，
根据分类计数原理知共10种，
故选：B．
【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．
8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）
A．
B．
C．
D．1
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】11：计算题．
【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．
【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x
∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2
∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0
令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=
∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为
×1×
=
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．
9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则
=（）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性
【专题】11：计算题．
【分析】由题意得 
=f（﹣
）=﹣f（
），代入已知条件进行运算．
【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），
∴
=f（﹣
）=﹣f（
）=﹣2×
（1﹣
）=﹣
，
故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．
10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）
A．
B．
C．
D．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合
【专题】11：计算题．
【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量
，
的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，
∴F点的坐标为（1，0）
又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，
则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），
则
=（0，﹣2），
=（3，4），
则cos∠AFB=
=
=﹣
，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧．
11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）
A．7π B．9π C．11π D．13π
【考点】MJ：二面角的平面角及求法
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．
【解答】解：∵圆M的面积为4π
∴圆M的半径为2
根据勾股定理可知OM=
∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N
∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=
∴圆N的半径为
则圆的面积为13π
故选：D．
【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．
12．（5分）设向量
，
，
满足|
|=|
|=1，
=﹣
，＜
﹣
，
﹣
＞=60°，则|
|的最大值等于（）
A．2 B．
C．
D．1
【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】利用向量的数量积求出
的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出
最大值．
【解答】解：∵
，
∴
的夹角为120°，
设
，
则
；
=
如图所示
则∠AOB=120°；∠ACB=60°
∴∠AOB+∠ACB=180°
∴A，O，B，C四点共圆
∵
∴
∴
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=
当OC为直径时，模最大，最大为2
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）
13．（5分）
的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为0．
【考点】DA：二项式定理
【专题】11：计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数分别取1，9求出x的系数与x9的系数；求出值．
【解答】解：展开式的通项为
令
得r=2；令
得r=18
以下文章是小编精心整理的高考全国卷理科数学试卷及答案，可供大家参考阅读，希望能够帮助到大家。
高考全国卷理科数学试卷及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数z=1+i， 为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）
A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）
A．y=（x∈R） B．y=（x≥0） C．y=4x2（x∈R） D．y=4x2（x≥0）
3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
4．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）
A． B．3 C．6 D．9
6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）
A． B． C． D．1
7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）
A． B． C． D．1
9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）
A．﹣ B．﹣ C． D．
10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）
A． B． C． D．
11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）
A．7π B．9π C．11π D．13π
12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）
A．2 B． C． D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）
13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 ．
14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α= ．
15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|= ．
16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．
18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
