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全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）若sinα=
，则cos2α=（）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
5．（5分）（x2+
）5的展开式中x4的系数为（）
A．10 B．20 C．40 D．80
6．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）
A．[2，6] B．[4，8] C．[
，3
] D．[2
，3
]
7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为
，则C=（）
A．
B．
C．
D．
10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9
，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）
A．12
B．18
C．24
D．54
11．（5分）设F1，F2是双曲线C：
﹣
=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=
|OP|，则C的离心率为（）
A．
B．2 C．
D．
12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知向量
=（1，2），
=（2，﹣2），
=（1，λ）．若
∥（2
+
），则λ= ．
14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ．
15．（5分）函数f（x）=cos（3x+
）在[0，π]的零点个数为 ．
16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=
．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．
18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2=
，
P（K2≥k）0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧
所在平面垂直，M是
上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：
+
=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣
；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且
+
+
=
．证明：|
|，|
|，|
|成等差数列，并求该数列的公差．
21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．
（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；
（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为
，（θ为参数），过点（0，﹣
）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．
【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．
【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，
∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．
【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．
故选：A．
【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查．
4．（5分）若sinα=
，则cos2α=（）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．
【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果．
【解答】解：∵sinα=
，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×
=
．
故选：B．
【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（5分）（x2+
）5的展开式中x4的系数为（）
A．10 B．20 C．40 D．80
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5P：二项式定理．
【分析】由二项式定理得（x2+
）5的展开式的通项为：Tr+1=
（x2）5﹣r（
）r=
，由10﹣3r=4，解得r=2，由此能求出（x2+
）5的展开式中x4的系数．
【解答】解：由二项式定理得（x2+
）5的展开式的通项为：
Tr+1=
（x2）5﹣r（
）r=
，
由10﹣3r=4，解得r=2，
∴（x2+
）5的展开式中x4的系数为
=40．
故选：C．
【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）
A．[2，6] B．[4，8] C．[
，3
] D．[2
，3
]
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2
，设P（2+
，
），点P到直线x+y+2=0的距离：d=
=
∈[
]，由此能求出△ABP面积的取值范围．
【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=
=2
，
∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+
，
），
∴点P到直线x+y+2=0的距离：
d=
=
，
∵sin（
）∈[﹣1，1]，∴d=
∈[
]，
∴△ABP面积的取值范围是：
[
，
]=[2，6]．
故选：A．
【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．
【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．
函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），
由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，
得x＜﹣
或0＜x＜
，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，
得x＞
或﹣
＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，
也可以利用f（1）=﹣1+1+2=2＞0，排除A，B，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键．
8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．
【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p），
P（x=4）＜P（X=6），可得
，可得1﹣2p＜0．即p
．
因为DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力．
9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为
，则C=（）
A．
B．
C．
D．
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】推导出S△ABC=
=
，从而sinC=
=cosC，由此能求出结果．
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
△ABC的面积为
，
∴S△ABC=
=
，
∴sinC=
=cosC，
∵0＜C＜π，∴C=
．
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9
，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）
A．12
B．18
C．24
D．54
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．
【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9
，可得
，解得AB=6，
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：
O′C=
=
，OO′=
=2，
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：
=18
．
故选：B．
【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
11．（5分）设F1，F2是双曲线C：
﹣
=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=
|OP|，则C的离心率为（）
A．
B．2 C．
D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2O，代值化简整理可得
a=c，问题得以解决．
【解答】解：双曲线C：
﹣
=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=
x，
∴点F2到渐近线的距离d=
=b，即|PF2|=b，
∴|OP|=
=
=a，cos∠PF2O=
，
∵|PF1|=
|OP|，
∴|PF1|=
a，
在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，
∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×
=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），
即3a2=c2，
即
a=c，
∴e=
=
，
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．
12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．
【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案．
【解答】解：∵a=log0.20.3=
，b=log20.3=
，
∴
=
，
，
∵
，
，
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知向量
=（1，2），
=（2，﹣2），
=（1，λ）．若
∥（2
+
），则λ=
．
【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量坐标运算法则求出
=（4，2），再由向量平行的性质能求出λ的值．
【解答】解：∵向量
=（1，2），
=（2，﹣2），
∴
=（4，2），
∵
=（1，λ），
∥（2
+
），
∴
，
解得λ=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=﹣3．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．
【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y′=aex+（ax+1）ex，
曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，
可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力．
15．（5分）函数f（x）=cos（3x+
）在[0，π]的零点个数为3．
【考点】51：函数的零点．菁优网版权所有
大家好，今天小编为大家整理了一些有关于全国统一高考数学试卷（理科）的内容，希望可以对大家有帮助，欢迎各位阅读和下载。
全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）
A． B．
C． D．
4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）
A． B． C．﹣ D．﹣
5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）
A．10 B．20 C．40 D．80
6．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）
A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3]
7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）
A． B．
C． D．
8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）
A． B． C． D．
10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）
A．12 B．18 C．24 D．54
11．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）
A． B．2 C． D．
12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ= ．
14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ．
15．（5分）函数f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零点个数为 ．
16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=
．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．
