北京市高考理科数学试卷下载

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北京市高考理科数学试卷

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）（2016•北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）

A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}

2．（5分）（2016•北京）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）

A．0 B．3 C．4 D．5

3．（5分）（2016•北京）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（5分）（2016•北京）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）（2016•北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）

A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0

6．（5分）（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A． B． C． D．1

7．（5分）（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）

A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为

C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为

8．（5分）（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）（2016•北京）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=．

10．（5分）（2016•北京）在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）

11．（5分）（2016•北京）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=．

12．（5分）（2016•北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=．

13．（5分）（2016•北京）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=．

14．（5分）（2016•北京）设函数f（x）=．

①若a=0，则f（x）的最大值为；

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是．

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（13分）（2016•北京）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．

（Ⅰ）求∠B的大小；

（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．

16．（13分）（2016•北京）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：

A班6 6.5 7 7.5 8

B班6 7 8 9 10 11 12

C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5

（Ⅰ）试估计C班的学生人数；

（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）

17．（14分）（2016•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．

（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．

18．（13分）（2016•北京）设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

19．（14分）（2016•北京）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．

20．（13分）（2016•北京）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有ak＜an，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．

（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；

（Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an＞a1，则G（A）≠∅；

（Ⅲ）证明：若数列A满足an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN﹣a1．

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）（2016•北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）

A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}

【考点】交集及其运算．菁优网版权所有

【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．

【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．

【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，

B={﹣1，0，1，2，3}，

∴A∩B={﹣1，0，1}．

故选：C．

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．

2．（5分）（2016•北京）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）

A．0 B．3 C．4 D．5

【考点】简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】计算题；规律型；数形结合；函数思想；转化思想．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

设z=2x+y得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，

由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，

此时z最大．

由，解得，即A（1，2），

代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．

即目标函数z=2x+y的最大值为4．

故选：C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

3．（5分）（2016•北京）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】程序框图．菁优网版权所有

【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

【解答】解：输入的a值为1，则b=1，

第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；

第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；

第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，

故输出的k值为2，

故选：B

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．

4．（5分）（2016•北京）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】充要条件；向量的模．菁优网版权所有

【专题】转化思想；平面向量及应用；矩阵和变换．

【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．

【解答】解：若“||=||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；

若“|+|=|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；

故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件；

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“||=||”与“|+|=|﹣|”表示的几何意义，是解答的关键．

5．（5分）（2016•北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）

A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0

【考点】不等关系与不等式．菁优网版权所有

【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式．

【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：，sinx与siny的大小关系不确定，＜，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论．

【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sinx与siny的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．

故选：C．

【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．（5分）（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A． B． C． D．1

【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有

【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，

棱锥的底面面积S=×1×1=，

高为1，

故棱锥的体积V==，

故选：A

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．

7．（5分）（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）

A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为

C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有

【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．

【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．

【解答】解：将x=代入得：t=sin=，

将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，

得到P′（﹣s，）点，

若P′位于函数y=sin2x的图象上，

则sin（﹣2s）=cos2s=，

则2s=+2kπ，k∈Z，

则s=+kπ，k∈Z，

由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，

故选：A．

【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．

8．（5分）（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

【考点】进行简单的演绎推理．菁优网版权所有

【专题】推理和证明．

【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析．

【解答】解：取两个球共有4种情况：

①红+红，则乙盒中红球数加1个；

②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；

③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；

④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．

设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y=a．

则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x；

丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y；

黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j

由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球．

故选B．

【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）（2016•北京）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=﹣1．

【考点】复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有

【专题】计算题；转化思想；转化法；数系的扩充和复数．

【分析】（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，则a+1=0，解得答案．

【解答】解：（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，

若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，

则a+1=0，

解得：a=﹣1，

故答案为：﹣1

【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于基础题．

10．（5分）（2016•北京）在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为60．（用数字作答）

【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有

【专题】方程思想；转化思想；二项式定理．

【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．

【解答】解：（1﹣2x）6的展开式中，通项公式Tr+1=（﹣2x）r=（﹣2）rxr，

令r=2，则x2的系数==60．

故答案为：60．

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

11．（5分）（2016•北京）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=2．

【考点】简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有

【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．

【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C在直线上可得|AB|．

【解答】解：直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0化为y直线x﹣y﹣1=0．

圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．

则圆心C在直线上，∴|AB|=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能力，属于基础题．

12．（5分）（2016•北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=6．

【考点】等差数列的前n项和．菁优网版权所有

【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．

以下文本是小编为大家带来的北京市高考理科数学试卷内容，欢迎大家进行阅读参考，希望能帮助到大家。

北京市高考理科数学试卷

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）（2016•北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）

A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}

2．（5分）（2016•北京）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）

A．0 B．3 C．4 D．5

3．（5分）（2016•北京）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（5分）（2016•北京）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）（2016•北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）

A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0

6．（5分）（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A． B． C． D．1

7．（5分）（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）

A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为

C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为

8．（5分）（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）（2016•北京）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=．

10．（5分）（2016•北京）在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为．（用数字作答）

11．（5分）（2016•北京）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=．

12．（5分）（2016•北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=．

13．（5分）（2016•北京）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=．

14．（5分）（2016•北京）设函数f（x）=．

①若a=0，则f（x）的最大值为；

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是．

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（13分）（2016•北京）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．

（Ⅰ）求∠B的大小；

（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．

16．（13分）（2016•北京）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：