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高考理科数学试题天津卷及答案
一、选择题
1．（5分）（2016•天津）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）
A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}
2．（5分）（2016•天津）设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）
A．﹣4 B．6 C．10 D．17
3．（5分）（2016•天津）在△ABC中，若AB=
，BC=3，∠C=120°，则AC=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）（2016•天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（5分）（2016•天津）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）（2016•天津）已知双曲线
﹣
=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）
A．
﹣
=1 B．
﹣
=1 C．
﹣
=1 D．
﹣
=1
7．（5分）（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则
的值为（）
A．﹣
B．
C．
D．
8．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）=
（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）
A．（0，
] B．[
，
] C．[
，
]∪{
} D．[
，
）∪{
}
二、填空题
9．（5分）（2016•天津）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则
的值为．
10．（5分）（2016•天津）（x2﹣
）8的展开式中x7的系数为（用数字作答）
11．（5分）（2016•天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为
m3
12．（5分）（2016•天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．
13．（5分）（2016•天津）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣
），则a的取值范围是．
14．（5分）（2016•天津）设抛物线
（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（
p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3
，则p的值为．
三、计算题
15．（13分）（2016•天津）已知函数f（x）=4tanxsin（
﹣x）cos（x﹣
）﹣
．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣
，
]上的单调性．
16．（13分）（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（13分）（2016•天津）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH=
HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
18．（13分）（2016•天津）已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中项．
（1）设cn=b
﹣b
，n∈N+，求证：数列{cn}是等差数列；
（2）设a1=d，Tn=
（﹣1）kbk2，n∈N*，求证：
．
19．（14分）（2016•天津）设椭圆
+
=1（a＞
）的右焦点为F，右顶点为A．已知
+
=
，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
20．（14分）（2016•天津）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于
．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）（2016•天津）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）
A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}
【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，
∵A={1，2，3，4}，
∴A∩B={1，4}，
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）（2016•天津）设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）
A．﹣4 B．6 C．10 D．17
【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．
【解答】解：作出不等式组
表示的可行域，
如右图中三角形的区域，
作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，
平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．
故选：B．
【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准确作出不等式组表示的平面区域．
3．（5分）（2016•天津）在△ABC中，若AB=
，BC=3，∠C=120°，则AC=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用余弦定理求解即可．
【解答】解：在△ABC中，若AB=
，BC=3，∠C=120°，
AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，
可得：13=9+AC2+3AC，
解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．
4．（5分）（2016•天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可．
【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4，
第二次判断不满足条件n＞3：
第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3，
第四次判断n＞3不满足条件，
第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4，
第六次判断满足条件n＞3，
故输出S=4，
故选：B．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．
5．（5分）（2016•天津）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．
【解答】解：{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，
若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，
例如：当首项为2，q=﹣
时，各项为2，﹣1，
，﹣
，…，此时2+（﹣1）=1＞0，
+（﹣
）=
＞0；
而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，
则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，
故选：C．
【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
6．（5分）（2016•天津）已知双曲线
﹣
=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）
A．
﹣
=1 B．
﹣
=1 C．
﹣
=1 D．
﹣
=1
【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±
x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论．
【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±
x，
设A（x，
x），则∵四边形ABCD的面积为2b，
∴2x•bx=2b，
∴x=±1
将A（1，
）代入x2+y2=4，可得1+
=4，∴b2=12，
∴双曲线的方程为
﹣
=1，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
7．（5分）（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则
的值为（）
A．﹣
B．
C．
D．
【分析】运用向量的加法运算和中点的向量表示，结合向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．
【解答】解：由DD、E分别是边AB、BC的中点，DE=2EF，可得
=（
+
）•（
﹣
）
=（
+
）•（
﹣
）
=（
+
）•（
﹣
）
=
2﹣
•
﹣
2=
﹣
•1•1•
﹣
=
．
故选：B．
【点评】本题考查了数量积的定义和性质，注意运用向量的中点的表示，考查计算能力，属于中档题．
8．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）=
（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）
A．（0，
] B．[
，
] C．[
，
]∪{
} D．[
，
）∪{
}
【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．
【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，
函数f（x）在R上单调递减，则则：
；
解得，
；
由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，
故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，
当3a＞2即a＞
时，联立|x2+（4a﹣3）+3a|=2﹣x，
则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，
解得a=
或1（舍去），
当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，
综上：a的取值范围为[
，
]∪{
}，
故选：C．
【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．
二、填空题
9．（5分）（2016•天津）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则
的值为2．
【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．
【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，
∴
，
解得：
，
∴
=2，
故答案为：2
【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题．
10．（5分）（2016•天津）（x2﹣
）8的展开式中x7的系数为﹣56（用数字作答）
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：Tr+1=
=
x16﹣3r，
令16﹣3r=7，解得r=3．
∴（x2﹣
）8的展开式中x7的系数为
=﹣56．
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高考理科数学试题天津卷及答案
一、选择题
1．（5分）（2016•天津）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）
A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}
2．（5分）（2016•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）
A．﹣4 B．6 C．10 D．17
3．（5分）（2016•天津）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）（2016•天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（5分）（2016•天津）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）（2016•天津）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
7．（5分）（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为（）
A．﹣ B． C． D．
8．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）
A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}
二、填空题
9．（5分）（2016•天津）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为．
10．（5分）（2016•天津）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为（用数字作答）
11．（5分）（2016•天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为
m3
12．（5分）（2016•天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．
13．（5分）（2016•天津）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是．
14．（5分）（2016•天津）设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为．
三、计算题
15．（13分）（2016•天津）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．
16．（13分）（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（13分）（2016•天津）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．
（1）求证：EG∥平面ADF；
