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高考数学理科全国卷一真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数（
）2=（）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
2．（5分）函数
的反函数是（）
A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） B．y=e2x﹣1+1（x＞0）
C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R） D．y=e2x﹣1+1（x∈R）
3．（5分）若变量x，y满足约束条件
，则z=2x+y的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）
A．14 B．21 C．28 D．35
5．（5分）不等式
＞0的解集为（）
A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}
C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}
6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣
）的图象，只需把函数y=sin（2x+
）的图象（）
A．向左平移
个长度单位 B．向右平移
个长度单位
C．向左平移
个长度单位 D．向右平移
个长度单位
8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若
=
，
=
，|
|=1，|
|=2，则
=（）
A．
+
B．
+
C．
+
D．
+
9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2
，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）
A．1 B．
C．2 D．3
10．（5分）若曲线y=
在点（a，
）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（）
A．64 B．32 C．16 D．8
11．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个
12．（5分）已知椭圆T：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若
=3
，则k=（）
A．1 B．
C．
D．2
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣
，则tanα= ．
14．（5分）若（x﹣
）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a= ．
15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为
的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若
，则p= ．
16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=
，cos∠ADC=
，求AD．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=（n2+n）•3n．
（Ⅰ）求
；（Ⅱ）证明：
+
+…+
＞3n．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．
20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．
21．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：
相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
22．（12分）设函数f（x）=1﹣e﹣x．
（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥
；
（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤
，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数（
）2=（）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
【考点】A5：复数的运算
【专题】11：计算题．
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．
【解答】解：（
）2=[
]2=（1﹣2i）2=﹣3﹣4i．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分．
2．（5分）函数
的反函数是（）
A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） B．y=e2x﹣1+1（x＞0）
C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R） D．y=e2x﹣1+1（x∈R）
【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】从条件中
中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．
【解答】解：由原函数解得
x=e 2y﹣1+1，
∴f﹣1（x）=e 2x﹣1+1，
又x＞1，∴x﹣1＞0；
∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，
故选：D．
【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．
3．（5分）若变量x，y满足约束条件
，则z=2x+y的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】7C：简单线性规划
【专题】31：数形结合．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．
【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，
可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，
∴即为B（1，1），当x=1，y=1时zmax=3．
故选：C．
【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
4．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）
A．14 B．21 C．28 D．35
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和
【分析】由等差数列的性质求解．
【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，
∴a1+a2+…+a7=
=7a4=28
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的性质．
5．（5分）不等式
＞0的解集为（）
A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}
C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}
【考点】73：一元二次不等式及其应用
【专题】11：计算题．
【分析】解
，可转化成f（x）•g（x）＞0，再利用根轴法进行求解．
【解答】解：
⇔
⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0
利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，
故选：C．
【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础题．
6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题
【专题】11：计算题．
【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，
∵先从3个信封中选一个放1，2，有
=3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有
=6种放法，
∴共有3×6×1=18．
故选：B．
【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．
7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣
）的图象，只需把函数y=sin（2x+
）的图象（）
A．向左平移
个长度单位 B．向右平移
个长度单位
C．向左平移
个长度单位 D．向右平移
个长度单位
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【专题】1：常规题型．
【分析】先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．
【解答】解：y=sin（2x+
）=sin2（x+
），y=sin（2x﹣
）=sin2（x﹣
），
所以将y=sin（2x+
）的图象向右平移
个长度单位得到y=sin（2x﹣
）的图象，
故选：B．
【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x来说的．
8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若
=
，
=
，|
|=1，|
|=2，则
=（）
A．
+
B．
+
C．
+
D．
+
【考点】9B：向量加减混合运算
【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到
，我们将
后，将各向量用
，
表示，即可得到答案．
【解答】解：∵CD为角平分线，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC=BD：CD
9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2
，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）
A．1 B．
C．2 D．3
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．
【解答】解：设底面边长为a，则高h=
=
，所以体积V=
a2h=
，
设y=12a4﹣
a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，
此时h=
=2，
故选：C．
【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．
10．（5分）若曲线y=
在点（a，
）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（）
A．64 B．32 C．16 D．8
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】31：数形结合．
【分析】欲求参数a值，必须求出在点（a，
）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=a处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到切线的方程，最后求出与坐标轴的交点坐标结合三角形的面积公式．从而问题解决．
【解答】解：y′=﹣
，∴k=﹣
，
切线方程是y﹣
=﹣
（x﹣a），
令x=0，y=
，令y=0，x=3a，
∴三角形的面积是s=
•3a•
=18，
解得a=64．
故选：A．
【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．
11．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系
【专题】16：压轴题．
【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，
并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，
因为
=（1，1，1），
所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，
则PF是点P到直线A1D1的距离．
所以PF=
；
同理点P到直线AB、CC1的距离也是
．
所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，
所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．
故选：D．
【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．
12．（5分）已知椭圆T：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若
=3
，则k=（）
A．1 B．
C．
D．2
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据
求得y1和y2关系根据离心率设
，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．
【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），
∵
，∴y1=﹣3y2，
∵
，设
，b=t，
∴x2+4y2﹣4t2=0①，
设直线AB方程为
，代入①中消去x，可得
，
∴
，
，
解得
，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣
，则tanα=
．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数
【专题】11：计算题．
【分析】根据诱导公式tan（π+α）=tanα得到tan2α，然后利用公式tan（α+β）=
求出tanα，因为α为第二象限的角，判断取值即可．
【解答】解：由tan（π+2a）=﹣
得tan2a=﹣
，又tan2a=
=﹣
，
解得tana=﹣
或tana=2，
又a是第二象限的角，所以tana=﹣
．
故答案为：
．
【点评】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力．
以下是关于高考数学理科全国卷一真题及答案的相关内容，欢迎大家前来阅读，希望对大家有所帮助。
高考数学理科全国卷一真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数（）2=（）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
2．（5分）函数的反函数是（）
A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） B．y=e2x﹣1+1（x＞0）
C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R） D．y=e2x﹣1+1（x∈R）
3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）
A．14 B．21 C．28 D．35
5．（5分）不等式＞0的解集为（）
A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}
C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}
6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（）
A．+ B．+ C．+ D．+
9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）
A．1 B． C．2 D．3
10．（5分）若曲线y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（）
A．64 B．32 C．16 D．8
11．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个
12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）
A．1 B． C． D．2
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣，则tanα= ．
14．（5分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a= ．
15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p= ．
16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=（n2+n）•3n．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：++…+＞3n．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．
