今天小编为大家整理了有关于全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ），希望可以对大家有帮助。
全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数
的定义域为（）
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）
A．
B．
C．
D．
3．（5分）在△ABC中，
=
，
=
．若点D满足
=2
，则
=（）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
5．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）
A．138 B．135 C．95 D．23
6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln
的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）
A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2
7．（5分）已知曲线y=
在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为（）
A．2 B．
C．﹣
D．﹣2
8．（5分）为得到函数
的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移
个长度单位 B．向右平移
个长度单位
C．向左平移
个长度单位 D．向右平移
个长度单位
9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式
＜0的解集为（）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）
10．（5分）若直线
=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．
D．
11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）
A．
B．
C．
D．
12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）
A．96 B．84 C．60 D．48
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若x，y满足约束条件
，则z=2x﹣y的最大值为 ．
14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
15．（5分）在△ABC中，AB=BC，
．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ．
16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为
，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=
c．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．
18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，
，AB=AC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．
19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，
）上是减函数，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．
21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知|
|、|
|、|
|成等差数列，且
与
同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1；
（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数
．证明：ak+1＞b．
全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数
的定义域为（）
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于x的不等式组，即为函数的定义域．
【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．
又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}
故选：C．
【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方一定非负，分式中分母不能为0，对数函数的真数一定要大于0，指数和对数的底数大于0且不等于1．另外还要注意正切函数的定义域．
2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换
【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．
【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，
路程随时间上升的速度越来越快，
故图象的前边部分为凹升的形状；
在汽车的匀速行驶阶段，
路程随时间上升的速度保持不变
故图象的中间部分为平升的形状；
在汽车减速行驶之后停车阶段，
路程随时间上升的速度越来越慢，
故图象的前边部分为凸升的形状；
分析四个答案中的图象，
只有A答案满足要求，
故选：A．
【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．
3．（5分）在△ABC中，
=
，
=
．若点D满足
=2
，则
=（）
A．
B．
C．
D．
【考点】9B：向量加减混合运算
【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．
【解答】解：∵由
，
∴
，
∴
．
故选：A．
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的
4．（5分）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义
【分析】注意到a+bi（a，b∈R）为正实数的充要条件是a＞0，b=0
【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故选D．
【点评】本题的计算中，要注意到相应变量的范围．
5．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）
A．138 B．135 C．95 D．23
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和
【专题】11：计算题．
【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．
【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，
∴d=3，a1=﹣4，
∴S10=10a1+
=95．
故选：C．
【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．
6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln
的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）
A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2
【考点】4R：反函数
【专题】11：计算题．
【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln
的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln
中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．
【解答】解：∵
，∴
，∴x=（ey﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2
∴答案为A．
【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法．
7．（5分）已知曲线y=
在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为（）
A．2 B．
C．﹣
D．﹣2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．
【解答】解：∵y=
，
∴y′=
=
，
∴曲线y=
在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣
，
∵曲线y=
在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，
∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×
=﹣1，即a=﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用．
8．（5分）为得到函数
的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移
个长度单位 B．向右平移
个长度单位
C．向左平移
个长度单位 D．向右平移
个长度单位
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【专题】11：计算题．
【分析】先根据诱导公式将函数
化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．
【解答】解：∵
，
只需将函数y=sin2x的图象向左平移
个单位得到函数
的图象．
故选：A．
【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．
9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式
＜0的解集为（）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合
【专题】16：压轴题．
【分析】首先利用奇函数定义与
得出x与f（x）异号，
然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，
最后结合f（x）的单调性解出答案．
【解答】解：由奇函数f（x）可知
，即x与f（x）异号，
而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，
当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得
＜0，满足；
当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得
＞0，不满足，舍去；
当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得
＜0，满足；
当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得
＞0，不满足，舍去；
所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．
故选：D．
【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．
10．（5分）若直线
=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．
D．
【考点】J9：直线与圆的位置关系
【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．
【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r
，∴
，
故选：D．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题．
11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）
A．
B．
C．
D．
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系
【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角．
【分析】法一：由题意可知三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；
法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．
【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，
所以三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，
则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形，
所以AB1=2×2×sin60°=2
，A1D=
=
，
所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为
=
=
；
（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，
如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，
故DA=
，
由勾股定理得A1D=
=
故B1E=
，
如图作A1S⊥AB于中点S，过B1作AB的垂线段，垂足为F，
BF=1，B1F=A1S=
，AF=3，
在直角三角形B1AF中用勾股定理得：AB1=2
，
所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE=
=
．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力．
12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）
A．96 B．84 C．60 D．48
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率
【专题】16：压轴题．
【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．
【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；
今天小编为大家整理了有关于全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ），希望可以对大家有帮助。
全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数的定义域为（）
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）
A． B．
C． D．
3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）
A． B． C． D．
4．（5分）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
5．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）
A．138 B．135 C．95 D．23
6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）
A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2
7．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为（）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
8．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）
10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．
11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）
A． B． C． D．
12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）
A．96 B．84 C．60 D．48
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为 ．
14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．
15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ．
16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．
（Ⅰ）求的值；
