2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）

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2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）

A．2 B．3 C．4 D．6

2．（5分）复数的虚部是（）

A．﹣ B．﹣ C． D．

3．（5分）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1

C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2

4．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

5．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）

A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0）

6．（5分）已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）

A．﹣ B．﹣ C． D．

7．（5分）在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝（）

A． B． C． D．

8．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2

9．（5分）已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

10．（5分）若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）

A．y＝2x+1 B．y＝2x+ C．y＝x+1 D．y＝x+

11．（5分）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（）

A．1 B．2 C．4 D．8

12．（5分）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为 ．

14．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是 （用数字作答）．

15．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．

16．（5分）关于函数f（x）＝sinx+有如下四个命题：

①f（x）的图象关于y轴对称．

②f（x）的图象关于原点对称．

③f（x）的图象关于直线x＝对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是 ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）设数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次≤400人次＞400

空气质量好

空气质量不好

附：K2＝

P（K2≥k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．

（1）证明：点C1在平面AEF内；

（2）若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A﹣EF﹣A1的正弦值．

20．（12分）已知椭圆C：+＝1（0＜m＜5）的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．

（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．

21．（12分）设函数f（x）＝x3+bx+c，曲线y＝f（x）在点（，f（））处的切线与y轴垂直．

（1）求b；

（2）若f（x）有一个绝对值不大于1的零点，证明：f（x）所有零点的绝对值都不大于1．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A，B两点．

（1）求|AB|；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．

（1）证明：ab+bc+ca＜0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）

A．2 B．3 C．4 D．6

【分析】利用交集定义求出A∩B＝{（7，1），（6，2），（5，3），（4，4）}．由此能求出A∩B中元素的个数．

【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，

∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（7，1），（6，2），（5，3），（4，4）}．

∴A∩B中元素的个数为4．

故选：C．

【点评】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．（5分）复数的虚部是（）

A．﹣ B．﹣ C． D．

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：∵＝，

∴复数的虚部是．

故选：D．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3．（5分）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1

C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2

【分析】根据题意，求出各组数据的方差，方差大的对应的标准差也大．

【解答】解：选项A：E（x）＝1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1＝2.5，所以D（x）＝（1﹣2.5）2×0.1+（2﹣2.5）2×0.4+（3﹣2.5）2×0.4+（4﹣2.5）2×0.1＝0.65；

同理选项B：E（x）＝2.5，D（x）＝2.05；

选项C：E（x）＝2.5，D（x）＝1.05；

选项D：E（x）＝2.5，D（x）＝1.45；

故选：B．

【点评】本题考查了方差和标准差的问题，记住方差、标准差的公式是解题的关键．

4．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

【分析】根据所给材料的公式列出方程＝0.95K，解出t即可．

【解答】解：由已知可得＝0.95K，解得e﹣0.23（t﹣53）＝，

两边取对数有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，

解得t≈66，

故选：C．

【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题

5．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）

A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0）

【分析】利用已知条件转化求解E、D坐标，通过kOD•kOE＝﹣1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．

【解答】解：将x＝2代入抛物线y2＝2px，可得y＝±2，OD⊥OE，可得kOD•kOE＝﹣1，

即，解得p＝1，

所以抛物线方程为：y2＝2x，它的焦点坐标（，0）．

故选：B．

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

6．（5分）已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）

A．﹣ B．﹣ C． D．

【分析】利用已知条件求出||，然后利用向量的数量积求解即可．

【解答】解：向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，

可得||＝＝＝7，

cos＜，+＞＝＝＝＝．

故选：D．

【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档题．

7．（5分）在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝（）

A． B． C． D．

【分析】先根据余弦定理求出AB，再代入余弦定理求出结论．

【解答】解：在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，

由余弦定理可得AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC＝42+32﹣2×4×3×＝9；

故AB＝3；

∴cosB＝＝＝，

故选：A．

【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

8．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2

【分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公式计算即可．

【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图是正方体的一个角，如图：

PA＝AB＝AC＝2，PA、AB、AC两两垂直，

故PB＝BC＝PC＝2，

几何体的表面积为：3×＝6+2，

故选：C．

【点评】本题考查多面体的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力．

9．（5分）已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

【分析】利用两角和差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可．

【解答】解：由2tanθ﹣tan（θ+）＝7，得2tanθ﹣＝7，

即2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，

得2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，

即tan2θ﹣4tanθ+4＝0，

即（tanθ﹣2）2＝0，

则tanθ＝2，

故选：D．

【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，结合两角和差的正切公式以及配方法是解决本题的关键．难度中等．

10．（5分）若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）

A．y＝2x+1 B．y＝2x+ C．y＝x+1 D．y＝x+

【分析】根据直线l与圆x2+y2＝相切，利用选项到圆心的距离等于半径，在将直线与曲线y＝求一解可得答案；

【解答】解：直线l与圆x2+y2＝相切，那么直线到圆心（0，0）的距离等于半径，

四个选项中，只有A，D满足题意；

对于A选项：y＝2x+1与y＝联立可得：2x﹣+1＝0，此时：无解；

对于D选项：y＝x+与y＝联立可得：x﹣+＝0，此时解得x＝1；

∴直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，方程为y＝x+，

故选：D．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题，采用选项检验，排除思想做题，有时事半功倍．

11．（5分）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（）

A．1 B．2 C．4 D．8

【分析】利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a即可．

【解答】解：由题意，设PF2＝m，PF1＝n，可得m﹣n＝2a，，m2+n2＝4c2，e＝，

可得4c2＝16+4a2，可得5a2＝4+a2，

解得a＝1．

故选：A．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义以及勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力．

12．（5分）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

【分析】根据，可得a＜b，然后由b＝log85＜0.8和c＝log138＞0.8，得到c＞b，再确定a，b，c的大小关系．

【解答】解：∵＝＝log53•log58＜＝＜1，∴a＜b；

∵55＜84，∴5＜4log58，∴log58＞1.25，∴b＝log85＜0.8；

∵134＜85，∴4＜5log138，∴c＝log138＞0.8，∴c＞b，

综上，c＞b＞a．

故选：A．

【点评】本题考查了三个数大小的判断，指数对的运算和基本不等式的应用，考查了转化思想，是基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为7．

【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x+2y表示直线在y轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可．

【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由解得A（1，2），

如图，当直线z＝3x+2y过点A（1，2）时，目标函数在y轴上的截距取得最大值时，此时z取得最大值，

即当x＝1，y＝2时，zmax＝3×1+2×2＝7．

故答案为：7．

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

14．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是240（用数字作答）．

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．

【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为 Tr+1＝•2r•x12﹣3r，

令12﹣3r＝0，求得r＝4，故常数项的值等于 •24＝240，

故答案为：240．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

今天小编为大家整理了有关于2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ），希望可以对大家有帮助。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）

A．2 B．3 C．4 D．6

2．（5分）复数的虚部是（）

A．﹣ B．﹣ C． D．

3．（5分）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1

C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2

4．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

5．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）

A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0）

6．（5分）已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）

A．﹣ B．﹣ C． D．

7．（5分）在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝（）

A． B． C． D．

8．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2

9．（5分）已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

10．（5分）若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）

A．y＝2x+1 B．y＝2x+ C．y＝x+1 D．y＝x+

11．（5分）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（）

A．1 B．2 C．4 D．8

12．（5分）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为 ．

14．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是 （用数字作答）．

15．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．

16．（5分）关于函数f（x）＝sinx+有如下四个命题：

①f（x）的图象关于y轴对称．

②f（x）的图象关于原点对称．

③f（x）的图象关于直线x＝对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是 ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。